Grundlegende Mathematik Beispiele

$20 m n + p^{2} - 4 m^{2} - 25 n^{2}$

Schritt 1

Gruppiere die Terme um.

$p^{2} + 20 m n - 4 m^{2} - 25 n^{2}$

Schritt 2

Füge Klammern hinzu.

$p^{2} + 20 (m n) - 4 m^{2} - 25 n^{2}$

Schritt 3

Es sei $u = m n$ . Ersetze $u$ für alle $m n$ .

$p^{2} + 20 u - 4 m^{2} - 25 n^{2}$

Schritt 4

Faktorisiere $- 1$ aus $20 u - 4 m^{2} - 25 n^{2}$ heraus.

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Schritt 4.1

Bewege $20 u$ .

$p^{2} - 4 m^{2} - 25 n^{2} + 20 u$

Schritt 4.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 4 m^{2}$ heraus.

$p^{2} - (4 m^{2}) - 25 n^{2} + 20 u$

Schritt 4.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 25 n^{2}$ heraus.

$p^{2} - (4 m^{2}) - (25 n^{2}) + 20 u$

Schritt 4.4

Faktorisiere $- 1$ aus $20 u$ heraus.

$p^{2} - (4 m^{2}) - (25 n^{2}) - (- 20 u)$

Schritt 4.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (4 m^{2}) - (25 n^{2})$ heraus.

$p^{2} - (4 m^{2} + 25 n^{2}) - (- 20 u)$

Schritt 4.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (4 m^{2} + 25 n^{2}) - (- 20 u)$ heraus.

$p^{2} - (4 m^{2} + 25 n^{2} - 20 u)$

Schritt 5

Ersetze alle $u$ durch $m n$ .

$p^{2} - (4 m^{2} + 25 n^{2} - 20 (m n))$

Schritt 6

Entferne die Klammern.

$p^{2} - (4 m^{2} + 25 n^{2} - 20 m n)$

Schritt 7

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 7.1

Ordne Terme um.

$p^{2} - (4 m^{2} - 20 m n + 25 n^{2})$

Schritt 7.2

Schreibe $4 m^{2}$ als ${(2 m)}^{2}$ um.

$p^{2} - ({(2 m)}^{2} - 20 m n + 25 n^{2})$

Schritt 7.3

Schreibe $25 n^{2}$ als ${(5 n)}^{2}$ um.

$p^{2} - ({(2 m)}^{2} - 20 m n + {(5 n)}^{2})$

Schritt 7.4

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$20 m n = 2 \cdot (2 m) \cdot (5 n)$

Schritt 7.5

Schreibe das Polynom neu.

$p^{2} - ({(2 m)}^{2} - 2 \cdot (2 m) \cdot (5 n) + {(5 n)}^{2})$

Schritt 7.6

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = 2 m$ und $b = 5 n$ .

$p^{2} - {(2 m - 5 n)}^{2}$

Schritt 8

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = p$ und $b = 2 m - 5 n$ .

$(p + 2 m - 5 n) (p - (2 m - 5 n))$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(p + 2 m - 5 n) (p - (2 m) - (- 5 n))$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$(p + 2 m - 5 n) (p - 2 m - (- 5 n))$

Schritt 9.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 1$ .

$(p + 2 m - 5 n) (p - 2 m + 5 n)$