Grundlegende Mathematik Beispiele

$- 3 {(5 b + 3)}^{3} - 6 (5 b + 3) + 9$

Schritt 1

Faktorisiere $- 3$ aus $- 3 {(5 b + 3)}^{3} - 6 (5 b + 3) + 9$ heraus.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $- 3$ aus $- 3 {(5 b + 3)}^{3}$ heraus.

$- 3 ({(5 b + 3)}^{3}) - 6 (5 b + 3) + 9$

Schritt 1.2

Faktorisiere $- 3$ aus $- 6 (5 b + 3)$ heraus.

$- 3 ({(5 b + 3)}^{3}) - 3 (2 (5 b + 3)) + 9$

Schritt 1.3

Faktorisiere $- 3$ aus $9$ heraus.

$- 3 ({(5 b + 3)}^{3}) - 3 (2 (5 b + 3)) - 3 (- 3)$

Schritt 1.4

Faktorisiere $- 3$ aus $- 3 ({(5 b + 3)}^{3}) - 3 (2 (5 b + 3))$ heraus.

$- 3 ({(5 b + 3)}^{3} + 2 (5 b + 3)) - 3 (- 3)$

Schritt 1.5

Faktorisiere $- 3$ aus $- 3 ({(5 b + 3)}^{3} + 2 (5 b + 3)) - 3 (- 3)$ heraus.

$- 3 ({(5 b + 3)}^{3} + 2 (5 b + 3) - 3)$

Schritt 2

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$- 3 ({(5 b)}^{3} + 3 {(5 b)}^{2} \cdot 3 + 3 (5 b) \cdot 3^{2} + 3^{3} + 2 (5 b + 3) - 3)$

Schritt 3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1

Wende die Produktregel auf $5 b$ an.

$- 3 (5^{3} b^{3} + 3 {(5 b)}^{2} \cdot 3 + 3 (5 b) \cdot 3^{2} + 3^{3} + 2 (5 b + 3) - 3)$

Schritt 3.2

Potenziere $5$ mit $3$ .

$- 3 (125 b^{3} + 3 {(5 b)}^{2} \cdot 3 + 3 (5 b) \cdot 3^{2} + 3^{3} + 2 (5 b + 3) - 3)$

Schritt 3.3

Wende die Produktregel auf $5 b$ an.

$- 3 (125 b^{3} + 3 (5^{2} b^{2}) \cdot 3 + 3 (5 b) \cdot 3^{2} + 3^{3} + 2 (5 b + 3) - 3)$

Schritt 3.4

Potenziere $5$ mit $2$ .

$- 3 (125 b^{3} + 3 (25 b^{2}) \cdot 3 + 3 (5 b) \cdot 3^{2} + 3^{3} + 2 (5 b + 3) - 3)$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $25$ mit $3$ .

$- 3 (125 b^{3} + 75 b^{2} \cdot 3 + 3 (5 b) \cdot 3^{2} + 3^{3} + 2 (5 b + 3) - 3)$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $3$ mit $75$ .

$- 3 (125 b^{3} + 225 b^{2} + 3 (5 b) \cdot 3^{2} + 3^{3} + 2 (5 b + 3) - 3)$

Schritt 3.7

Multipliziere $3$ mit $3^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.7.1

Bewege $3^{2}$ .

$- 3 (125 b^{3} + 225 b^{2} + 3^{2} \cdot 3 (5 b) + 3^{3} + 2 (5 b + 3) - 3)$

Schritt 3.7.2

Mutltipliziere $3^{2}$ mit $3$ .

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Schritt 3.7.2.1

Potenziere $3$ mit $1$ .

$- 3 (125 b^{3} + 225 b^{2} + 3^{2} \cdot 3^{1} (5 b) + 3^{3} + 2 (5 b + 3) - 3)$

Schritt 3.7.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 3 (125 b^{3} + 225 b^{2} + 3^{2 + 1} (5 b) + 3^{3} + 2 (5 b + 3) - 3)$

Schritt 3.7.3

Addiere $2$ und $1$ .

$- 3 (125 b^{3} + 225 b^{2} + 3^{3} (5 b) + 3^{3} + 2 (5 b + 3) - 3)$

Schritt 3.8

Potenziere $3$ mit $3$ .

$- 3 (125 b^{3} + 225 b^{2} + 27 (5 b) + 3^{3} + 2 (5 b + 3) - 3)$

Schritt 3.9

Mutltipliziere $5$ mit $27$ .

$- 3 (125 b^{3} + 225 b^{2} + 135 b + 3^{3} + 2 (5 b + 3) - 3)$

Schritt 3.10

Potenziere $3$ mit $3$ .

$- 3 (125 b^{3} + 225 b^{2} + 135 b + 27 + 2 (5 b + 3) - 3)$

Schritt 4

Wende das Distributivgesetz an.

$- 3 (125 b^{3} + 225 b^{2} + 135 b + 27 + 2 (5 b) + 2 \cdot 3 - 3)$

Schritt 5

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$- 3 (125 b^{3} + 225 b^{2} + 135 b + 27 + 10 b + 2 \cdot 3 - 3)$

Schritt 6

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$- 3 (125 b^{3} + 225 b^{2} + 135 b + 27 + 10 b + 6 - 3)$

Schritt 7

Addiere $135 b$ und $10 b$ .

$- 3 (125 b^{3} + 225 b^{2} + 145 b + 27 + 6 - 3)$

Schritt 8

Addiere $27$ und $6$ .

$- 3 (125 b^{3} + 225 b^{2} + 145 b + 33 - 3)$

Schritt 9

Subtrahiere $3$ von $33$ .

$- 3 (125 b^{3} + 225 b^{2} + 145 b + 30)$

Schritt 10

Faktorisiere.

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Schritt 10.1

Schreibe $125 b^{3} + 225 b^{2} + 145 b + 30$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 10.1.1

Faktorisiere $5$ aus $125 b^{3} + 225 b^{2} + 145 b + 30$ heraus.

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Schritt 10.1.1.1

Faktorisiere $5$ aus $125 b^{3}$ heraus.

$- 3 (5 (25 b^{3}) + 225 b^{2} + 145 b + 30)$

Schritt 10.1.1.2

Faktorisiere $5$ aus $225 b^{2}$ heraus.

$- 3 (5 (25 b^{3}) + 5 (45 b^{2}) + 145 b + 30)$

Schritt 10.1.1.3

Faktorisiere $5$ aus $145 b$ heraus.

$- 3 (5 (25 b^{3}) + 5 (45 b^{2}) + 5 (29 b) + 30)$

Schritt 10.1.1.4

Faktorisiere $5$ aus $30$ heraus.

$- 3 (5 (25 b^{3}) + 5 (45 b^{2}) + 5 (29 b) + 5 (6))$

Schritt 10.1.1.5

Faktorisiere $5$ aus $5 (25 b^{3}) + 5 (45 b^{2})$ heraus.

$- 3 (5 (25 b^{3} + 45 b^{2}) + 5 (29 b) + 5 (6))$

Schritt 10.1.1.6

Faktorisiere $5$ aus $5 (25 b^{3} + 45 b^{2}) + 5 (29 b)$ heraus.

$- 3 (5 (25 b^{3} + 45 b^{2} + 29 b) + 5 (6))$

Schritt 10.1.1.7

Faktorisiere $5$ aus $5 (25 b^{3} + 45 b^{2} + 29 b) + 5 (6)$ heraus.

$- 3 (5 (25 b^{3} + 45 b^{2} + 29 b + 6))$

Schritt 10.1.2

Faktorisiere.

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Schritt 10.1.2.1

Faktorisiere $25 b^{3} + 45 b^{2} + 29 b + 6$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 10.1.2.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 25, \pm 5$

Schritt 10.1.2.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.04, \pm 0.2, \pm 6, \pm 0.24, \pm 1.2, \pm 2, \pm 0.08, \pm 0.4, \pm 3, \pm 0.12, \pm 0.6$

Schritt 10.1.2.1.3

Setze $- 0.4$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 0.4$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 10.1.2.1.3.1

Setze $- 0.4$ in das Polynom ein.

$25 {(- 0.4)}^{3} + 45 {(- 0.4)}^{2} + 29 \cdot - 0.4 + 6$

Schritt 10.1.2.1.3.2

Potenziere $- 0.4$ mit $3$ .

$25 \cdot - 0.064 + 45 {(- 0.4)}^{2} + 29 \cdot - 0.4 + 6$

Schritt 10.1.2.1.3.3

Mutltipliziere $25$ mit $- 0.064$ .

$- 1.6 + 45 {(- 0.4)}^{2} + 29 \cdot - 0.4 + 6$

Schritt 10.1.2.1.3.4

Potenziere $- 0.4$ mit $2$ .

$- 1.6 + 45 \cdot 0.16 + 29 \cdot - 0.4 + 6$

Schritt 10.1.2.1.3.5

Mutltipliziere $45$ mit $0.16$ .

$- 1.6 + 7.2 + 29 \cdot - 0.4 + 6$

Schritt 10.1.2.1.3.6

Addiere $- 1.6$ und $7.2$ .

$5.6 + 29 \cdot - 0.4 + 6$

Schritt 10.1.2.1.3.7

Mutltipliziere $29$ mit $- 0.4$ .

$5.6 - 11.6 + 6$

Schritt 10.1.2.1.3.8

Subtrahiere $11.6$ von $5.6$ .

$- 6 + 6$

Schritt 10.1.2.1.3.9

Addiere $- 6$ und $6$ .

$0$

Schritt 10.1.2.1.4

Da $- 0.4$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $5 b + 2$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{25 b^{3} + 45 b^{2} + 29 b + 6}{5 b + 2}$

Schritt 10.1.2.1.5

Dividiere $25 b^{3} + 45 b^{2} + 29 b + 6$ durch $5 b + 2$ .

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Schritt 10.1.2.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$5 b$

$2$

$25 b^{3}$

$45 b^{2}$

$29 b$

$6$

Schritt 10.1.2.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $25 b^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $5 b$ .

					$5 b^{2}$
	$5 b$	+	$2$		$25 b^{3}$	+	$45 b^{2}$	+	$29 b$	+	$6$

Schritt 10.1.2.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$5 b^{2}$
$5 b$	+	$2$		$25 b^{3}$	+	$45 b^{2}$	+	$29 b$	+	$6$
			+	$25 b^{3}$	+	$10 b^{2}$

Schritt 10.1.2.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $25 b^{3} + 10 b^{2}$

				$5 b^{2}$
$5 b$	+	$2$		$25 b^{3}$	+	$45 b^{2}$	+	$29 b$	+	$6$
			-	$25 b^{3}$	-	$10 b^{2}$

Schritt 10.1.2.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$5 b^{2}$
$5 b$	+	$2$		$25 b^{3}$	+	$45 b^{2}$	+	$29 b$	+	$6$
			-	$25 b^{3}$	-	$10 b^{2}$
					+	$35 b^{2}$

Schritt 10.1.2.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$5 b^{2}$
$5 b$	+	$2$		$25 b^{3}$	+	$45 b^{2}$	+	$29 b$	+	$6$
			-	$25 b^{3}$	-	$10 b^{2}$
					+	$35 b^{2}$	+	$29 b$

Schritt 10.1.2.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $35 b^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $5 b$ .

				$5 b^{2}$	+	$7 b$
$5 b$	+	$2$		$25 b^{3}$	+	$45 b^{2}$	+	$29 b$	+	$6$
			-	$25 b^{3}$	-	$10 b^{2}$
					+	$35 b^{2}$	+	$29 b$

Schritt 10.1.2.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$5 b^{2}$	+	$7 b$
$5 b$	+	$2$		$25 b^{3}$	+	$45 b^{2}$	+	$29 b$	+	$6$
			-	$25 b^{3}$	-	$10 b^{2}$
					+	$35 b^{2}$	+	$29 b$
					+	$35 b^{2}$	+	$14 b$

Schritt 10.1.2.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $35 b^{2} + 14 b$

				$5 b^{2}$	+	$7 b$
$5 b$	+	$2$		$25 b^{3}$	+	$45 b^{2}$	+	$29 b$	+	$6$
			-	$25 b^{3}$	-	$10 b^{2}$
					+	$35 b^{2}$	+	$29 b$
					-	$35 b^{2}$	-	$14 b$

Schritt 10.1.2.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$5 b^{2}$	+	$7 b$
$5 b$	+	$2$		$25 b^{3}$	+	$45 b^{2}$	+	$29 b$	+	$6$
			-	$25 b^{3}$	-	$10 b^{2}$
					+	$35 b^{2}$	+	$29 b$
					-	$35 b^{2}$	-	$14 b$
							+	$15 b$

Schritt 10.1.2.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$5 b^{2}$	+	$7 b$
$5 b$	+	$2$		$25 b^{3}$	+	$45 b^{2}$	+	$29 b$	+	$6$
			-	$25 b^{3}$	-	$10 b^{2}$
					+	$35 b^{2}$	+	$29 b$
					-	$35 b^{2}$	-	$14 b$
							+	$15 b$	+	$6$

Schritt 10.1.2.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $15 b$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $5 b$ .

				$5 b^{2}$	+	$7 b$	+	$3$
$5 b$	+	$2$		$25 b^{3}$	+	$45 b^{2}$	+	$29 b$	+	$6$
			-	$25 b^{3}$	-	$10 b^{2}$
					+	$35 b^{2}$	+	$29 b$
					-	$35 b^{2}$	-	$14 b$
							+	$15 b$	+	$6$

Schritt 10.1.2.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$5 b^{2}$	+	$7 b$	+	$3$
$5 b$	+	$2$		$25 b^{3}$	+	$45 b^{2}$	+	$29 b$	+	$6$
			-	$25 b^{3}$	-	$10 b^{2}$
					+	$35 b^{2}$	+	$29 b$
					-	$35 b^{2}$	-	$14 b$
							+	$15 b$	+	$6$
							+	$15 b$	+	$6$

Schritt 10.1.2.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $15 b + 6$

				$5 b^{2}$	+	$7 b$	+	$3$
$5 b$	+	$2$		$25 b^{3}$	+	$45 b^{2}$	+	$29 b$	+	$6$
			-	$25 b^{3}$	-	$10 b^{2}$
					+	$35 b^{2}$	+	$29 b$
					-	$35 b^{2}$	-	$14 b$
							+	$15 b$	+	$6$
							-	$15 b$	-	$6$

Schritt 10.1.2.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$5 b^{2}$	+	$7 b$	+	$3$
$5 b$	+	$2$		$25 b^{3}$	+	$45 b^{2}$	+	$29 b$	+	$6$
			-	$25 b^{3}$	-	$10 b^{2}$
					+	$35 b^{2}$	+	$29 b$
					-	$35 b^{2}$	-	$14 b$
							+	$15 b$	+	$6$
							-	$15 b$	-	$6$
										$0$

Schritt 10.1.2.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$5 b^{2} + 7 b + 3$

Schritt 10.1.2.1.6

Schreibe $25 b^{3} + 45 b^{2} + 29 b + 6$ als eine Menge von Faktoren.

$- 3 (5 ((5 b + 2) (5 b^{2} + 7 b + 3)))$

Schritt 10.1.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- 3 (5 (5 b + 2) (5 b^{2} + 7 b + 3))$

Schritt 10.2

Entferne unnötige Klammern.

$- 3 \cdot 5 (5 b + 2) (5 b^{2} + 7 b + 3)$

Schritt 11

Mutltipliziere $- 3$ mit $5$ .

$- 15 (5 b + 2) (5 b^{2} + 7 b + 3)$