Grundlegende Mathematik Beispiele

$t^{2} + \frac{3}{t^{4} - 16} + \frac{7}{16 - t^{4}}$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1.1

Schreibe $t^{4}$ als ${(t^{2})}^{2}$ um.

$t^{2} + \frac{3}{{(t^{2})}^{2} - 16} + \frac{7}{16 - t^{4}}$

Schritt 1.1.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$t^{2} + \frac{3}{{(t^{2})}^{2} - 4^{2}} + \frac{7}{16 - t^{4}}$

Schritt 1.1.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = t^{2}$ und $b = 4$ .

$t^{2} + \frac{3}{(t^{2} + 4) (t^{2} - 4)} + \frac{7}{16 - t^{4}}$

Schritt 1.1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.1.4.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$t^{2} + \frac{3}{(t^{2} + 4) (t^{2} - 2^{2})} + \frac{7}{16 - t^{4}}$

Schritt 1.1.4.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = t$ und $b = 2$ .

$t^{2} + \frac{3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{16 - t^{4}}$

Schritt 1.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$t^{2} + \frac{3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{4^{2} - t^{4}}$

Schritt 1.2.2

Schreibe $t^{4}$ als ${(t^{2})}^{2}$ um.

$t^{2} + \frac{3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{4^{2} - {(t^{2})}^{2}}$

Schritt 1.2.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 4$ und $b = t^{2}$ .

$t^{2} + \frac{3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (4 - t^{2})}$

Schritt 1.2.4

Vereinfache.

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Schritt 1.2.4.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$t^{2} + \frac{3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2^{2} - t^{2})}$

Schritt 1.2.4.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2$ und $b = t$ .

$t^{2} + \frac{3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Schritt 2

Um $t^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)}$ .

$t^{2} \cdot \frac{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Kombiniere $t^{2}$ und $\frac{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)}$ .

$\frac{t^{2} ((t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2))}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Schritt 3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{t^{2} ((t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)) + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Multipliziere $(t^{2} + 4) (t + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{t^{2} ((t^{2} (t + 2) + 4 (t + 2)) (t - 2)) + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Schritt 4.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{t^{2} ((t^{2} t + t^{2} \cdot 2 + 4 (t + 2)) (t - 2)) + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Schritt 4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{t^{2} ((t^{2} t + t^{2} \cdot 2 + 4 t + 4 \cdot 2) (t - 2)) + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Schritt 4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1

Multipliziere $t^{2}$ mit $t$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.2.1.1

Mutltipliziere $t^{2}$ mit $t$ .

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Schritt 4.2.1.1.1

Potenziere $t$ mit $1$ .

$\frac{t^{2} ((t^{2} t^{1} + t^{2} \cdot 2 + 4 t + 4 \cdot 2) (t - 2)) + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Schritt 4.2.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{t^{2} ((t^{2 + 1} + t^{2} \cdot 2 + 4 t + 4 \cdot 2) (t - 2)) + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Schritt 4.2.1.2

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{t^{2} ((t^{3} + t^{2} \cdot 2 + 4 t + 4 \cdot 2) (t - 2)) + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Schritt 4.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $t^{2}$ .

$\frac{t^{2} ((t^{3} + 2 \cdot t^{2} + 4 t + 4 \cdot 2) (t - 2)) + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Schritt 4.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{t^{2} ((t^{3} + 2 t^{2} + 4 t + 8) (t - 2)) + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Schritt 4.3

Multipliziere $(t^{3} + 2 t^{2} + 4 t + 8) (t - 2)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$\frac{t^{2} (t^{3} t + t^{3} \cdot - 2 + 2 t^{2} t + 2 t^{2} \cdot - 2 + 4 t \cdot t + 4 t \cdot - 2 + 8 t + 8 \cdot - 2) + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Schritt 4.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.4.1

Multipliziere $t^{3}$ mit $t$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.4.1.1

Mutltipliziere $t^{3}$ mit $t$ .

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Schritt 4.4.1.1.1

Potenziere $t$ mit $1$ .

$\frac{t^{2} (t^{3} t^{1} + t^{3} \cdot - 2 + 2 t^{2} t + 2 t^{2} \cdot - 2 + 4 t \cdot t + 4 t \cdot - 2 + 8 t + 8 \cdot - 2) + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Schritt 4.4.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{t^{2} (t^{3 + 1} + t^{3} \cdot - 2 + 2 t^{2} t + 2 t^{2} \cdot - 2 + 4 t \cdot t + 4 t \cdot - 2 + 8 t + 8 \cdot - 2) + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Schritt 4.4.1.2

Addiere $3$ und $1$ .

$\frac{t^{2} (t^{4} + t^{3} \cdot - 2 + 2 t^{2} t + 2 t^{2} \cdot - 2 + 4 t \cdot t + 4 t \cdot - 2 + 8 t + 8 \cdot - 2) + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Schritt 4.4.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $t^{3}$ .

$\frac{t^{2} (t^{4} - 2 \cdot t^{3} + 2 t^{2} t + 2 t^{2} \cdot - 2 + 4 t \cdot t + 4 t \cdot - 2 + 8 t + 8 \cdot - 2) + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Schritt 4.4.3

Multipliziere $t^{2}$ mit $t$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.4.3.1

Bewege $t$ .

$\frac{t^{2} (t^{4} - 2 t^{3} + 2 (t \cdot t^{2}) + 2 t^{2} \cdot - 2 + 4 t \cdot t + 4 t \cdot - 2 + 8 t + 8 \cdot - 2) + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Schritt 4.4.3.2

Mutltipliziere $t$ mit $t^{2}$ .

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Schritt 4.4.3.2.1

Potenziere $t$ mit $1$ .

$\frac{t^{2} (t^{4} - 2 t^{3} + 2 (t^{1} t^{2}) + 2 t^{2} \cdot - 2 + 4 t \cdot t + 4 t \cdot - 2 + 8 t + 8 \cdot - 2) + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Schritt 4.4.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{t^{2} (t^{4} - 2 t^{3} + 2 t^{1 + 2} + 2 t^{2} \cdot - 2 + 4 t \cdot t + 4 t \cdot - 2 + 8 t + 8 \cdot - 2) + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Schritt 4.4.3.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{t^{2} (t^{4} - 2 t^{3} + 2 t^{3} + 2 t^{2} \cdot - 2 + 4 t \cdot t + 4 t \cdot - 2 + 8 t + 8 \cdot - 2) + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Schritt 4.4.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{t^{2} (t^{4} - 2 t^{3} + 2 t^{3} - 4 t^{2} + 4 t \cdot t + 4 t \cdot - 2 + 8 t + 8 \cdot - 2) + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Schritt 4.4.5

Multipliziere $t$ mit $t$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.4.5.1

Bewege $t$ .

$\frac{t^{2} (t^{4} - 2 t^{3} + 2 t^{3} - 4 t^{2} + 4 (t \cdot t) + 4 t \cdot - 2 + 8 t + 8 \cdot - 2) + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Schritt 4.4.5.2

Mutltipliziere $t$ mit $t$ .

$\frac{t^{2} (t^{4} - 2 t^{3} + 2 t^{3} - 4 t^{2} + 4 t^{2} + 4 t \cdot - 2 + 8 t + 8 \cdot - 2) + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Schritt 4.4.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$\frac{t^{2} (t^{4} - 2 t^{3} + 2 t^{3} - 4 t^{2} + 4 t^{2} - 8 t + 8 t + 8 \cdot - 2) + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Schritt 4.4.7

Mutltipliziere $8$ mit $- 2$ .

$\frac{t^{2} (t^{4} - 2 t^{3} + 2 t^{3} - 4 t^{2} + 4 t^{2} - 8 t + 8 t - 16) + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Schritt 4.5

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $t^{4} - 2 t^{3} + 2 t^{3} - 4 t^{2} + 4 t^{2} - 8 t + 8 t - 16$ .

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Schritt 4.5.1

Addiere $- 2 t^{3}$ und $2 t^{3}$ .

$\frac{t^{2} (t^{4} + 0 - 4 t^{2} + 4 t^{2} - 8 t + 8 t - 16) + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Schritt 4.5.2

Addiere $t^{4}$ und $0$ .

$\frac{t^{2} (t^{4} - 4 t^{2} + 4 t^{2} - 8 t + 8 t - 16) + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Schritt 4.5.3

Addiere $- 4 t^{2}$ und $4 t^{2}$ .

$\frac{t^{2} (t^{4} + 0 - 8 t + 8 t - 16) + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Schritt 4.5.4

Addiere $t^{4}$ und $0$ .

$\frac{t^{2} (t^{4} - 8 t + 8 t - 16) + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Schritt 4.5.5

Addiere $- 8 t$ und $8 t$ .

$\frac{t^{2} (t^{4} + 0 - 16) + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Schritt 4.5.6

Addiere $t^{4}$ und $0$ .

$\frac{t^{2} (t^{4} - 16) + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Schritt 4.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{t^{2} t^{4} + t^{2} \cdot - 16 + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Schritt 4.7

Multipliziere $t^{2}$ mit $t^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.7.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{t^{2 + 4} + t^{2} \cdot - 16 + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Schritt 4.7.2

Addiere $2$ und $4$ .

$\frac{t^{6} + t^{2} \cdot - 16 + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Schritt 4.8

Bringe $- 16$ auf die linke Seite von $t^{2}$ .

$\frac{t^{6} - 16 t^{2} + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Schritt 5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1

Stelle die Terme um.

$\frac{t^{6} - 16 t^{2} + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(t^{2} + 4) (2 + t) (2 - t)}$

Schritt 5.2

Stelle die Terme um.

$\frac{t^{6} - 16 t^{2} + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(t^{2} + 4) (t + 2) (2 - t)}$

Schritt 5.3

Schreibe $2$ als $- 1 (- 2)$ um.

$\frac{t^{6} - 16 t^{2} + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(t^{2} + 4) (t + 2) (- 1 (- 2) - t)}$

Schritt 5.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- t$ heraus.

$\frac{t^{6} - 16 t^{2} + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(t^{2} + 4) (t + 2) (- 1 (- 2) - (t))}$

Schritt 5.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- 2) - (t)$ heraus.

$\frac{t^{6} - 16 t^{2} + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(t^{2} + 4) (t + 2) (- 1 (- 2 + t))}$

Schritt 5.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.6.1

Bewege ein Minuszeichen des Nenners von $\frac{7}{(t^{2} + 4) (t + 2) (- 1 (- 2 + t))}$ zum Zähler.

$\frac{t^{6} - 16 t^{2} + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{- 1 \cdot 7}{(t^{2} + 4) (t + 2) (- 2 + t)}$

Schritt 5.6.2

Stelle die Terme um.

$\frac{t^{6} - 16 t^{2} + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{- 1 \cdot 7}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)}$

Schritt 5.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{t^{6} - 16 t^{2} + 3 - 1 \cdot 7}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)}$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$\frac{t^{6} - 16 t^{2} + 3 - 7}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)}$

Schritt 6.2

Subtrahiere $7$ von $3$ .

$\frac{t^{6} - 16 t^{2} - 4}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)}$