Grundlegende Mathematik Beispiele

$\frac{4 + \sqrt{5}}{4 - \sqrt{5}} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Mutltipliziere $\frac{4 + \sqrt{5}}{4 - \sqrt{5}}$ mit $\frac{4 + \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$ .

$\frac{4 + \sqrt{5}}{4 - \sqrt{5}} \cdot \frac{4 + \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

Schritt 1.2

Mutltipliziere $\frac{4 + \sqrt{5}}{4 - \sqrt{5}}$ mit $\frac{4 + \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$ .

$\frac{(4 + \sqrt{5}) (4 + \sqrt{5})}{(4 - \sqrt{5}) (4 + \sqrt{5})} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

Schritt 1.3

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\frac{(4 + \sqrt{5}) (4 + \sqrt{5})}{16 + 4 \sqrt{5} - 4 \sqrt{5} - {\sqrt{5}}^{2}} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

Schritt 1.4

Vereinfache.

$\frac{(4 + \sqrt{5}) (4 + \sqrt{5})}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

Schritt 1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.5.1

Potenziere $4 + \sqrt{5}$ mit $1$ .

$\frac{{(4 + \sqrt{5})}^{1} (4 + \sqrt{5})}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

Schritt 1.5.2

Potenziere $4 + \sqrt{5}$ mit $1$ .

$\frac{{(4 + \sqrt{5})}^{1} {(4 + \sqrt{5})}^{1}}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

Schritt 1.5.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{(4 + \sqrt{5})}^{1 + 1}}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

Schritt 1.5.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{{(4 + \sqrt{5})}^{2}}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

Schritt 1.6

Schreibe ${(4 + \sqrt{5})}^{2}$ als $(4 + \sqrt{5}) (4 + \sqrt{5})$ um.

$\frac{(4 + \sqrt{5}) (4 + \sqrt{5})}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

Schritt 1.7

Multipliziere $(4 + \sqrt{5}) (4 + \sqrt{5})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 (4 + \sqrt{5}) + \sqrt{5} (4 + \sqrt{5})}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

Schritt 1.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 \cdot 4 + 4 \sqrt{5} + \sqrt{5} (4 + \sqrt{5})}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

Schritt 1.7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 \cdot 4 + 4 \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 4 + \sqrt{5} \sqrt{5}}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

Schritt 1.8

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.8.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{16 + 4 \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 4 + \sqrt{5} \sqrt{5}}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

Schritt 1.8.1.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $\sqrt{5}$ .

$\frac{16 + 4 \sqrt{5} + 4 \cdot \sqrt{5} + \sqrt{5} \sqrt{5}}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

Schritt 1.8.1.3

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{16 + 4 \sqrt{5} + 4 \sqrt{5} + \sqrt{5 \cdot 5}}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

Schritt 1.8.1.4

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$\frac{16 + 4 \sqrt{5} + 4 \sqrt{5} + \sqrt{25}}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

Schritt 1.8.1.5

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\frac{16 + 4 \sqrt{5} + 4 \sqrt{5} + \sqrt{5^{2}}}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

Schritt 1.8.1.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{16 + 4 \sqrt{5} + 4 \sqrt{5} + 5}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

Schritt 1.8.2

Addiere $16$ und $5$ .

$\frac{21 + 4 \sqrt{5} + 4 \sqrt{5}}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

Schritt 1.8.3

Addiere $4 \sqrt{5}$ und $4 \sqrt{5}$ .

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

Schritt 1.9

Mutltipliziere $\frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$ mit $\frac{4 - \sqrt{5}}{4 - \sqrt{5}}$ .

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}} \cdot \frac{4 - \sqrt{5}}{4 - \sqrt{5}}$

Schritt 1.10

Mutltipliziere $\frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$ mit $\frac{4 - \sqrt{5}}{4 - \sqrt{5}}$ .

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{(4 - \sqrt{5}) (4 - \sqrt{5})}{(4 + \sqrt{5}) (4 - \sqrt{5})}$

Schritt 1.11

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{(4 - \sqrt{5}) (4 - \sqrt{5})}{16 - 4 \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 4 - {\sqrt{5}}^{2}}$

Schritt 1.12

Vereinfache.

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{(4 - \sqrt{5}) (4 - \sqrt{5})}{11}$

Schritt 1.13

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.13.1

Potenziere $4 - \sqrt{5}$ mit $1$ .

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{{(4 - \sqrt{5})}^{1} (4 - \sqrt{5})}{11}$

Schritt 1.13.2

Potenziere $4 - \sqrt{5}$ mit $1$ .

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{{(4 - \sqrt{5})}^{1} {(4 - \sqrt{5})}^{1}}{11}$

Schritt 1.13.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{{(4 - \sqrt{5})}^{1 + 1}}{11}$

Schritt 1.13.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{{(4 - \sqrt{5})}^{2}}{11}$

Schritt 1.14

Schreibe ${(4 - \sqrt{5})}^{2}$ als $(4 - \sqrt{5}) (4 - \sqrt{5})$ um.

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{(4 - \sqrt{5}) (4 - \sqrt{5})}{11}$

Schritt 1.15

Multipliziere $(4 - \sqrt{5}) (4 - \sqrt{5})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.15.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{4 (4 - \sqrt{5}) - \sqrt{5} (4 - \sqrt{5})}{11}$

Schritt 1.15.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{4 \cdot 4 + 4 (- \sqrt{5}) - \sqrt{5} (4 - \sqrt{5})}{11}$

Schritt 1.15.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{4 \cdot 4 + 4 (- \sqrt{5}) - \sqrt{5} \cdot 4 - \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{11}$

Schritt 1.16

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.16.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.16.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{16 + 4 (- \sqrt{5}) - \sqrt{5} \cdot 4 - \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{11}$

Schritt 1.16.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{16 - 4 \sqrt{5} - \sqrt{5} \cdot 4 - \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{11}$

Schritt 1.16.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{16 - 4 \sqrt{5} - 4 \sqrt{5} - \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{11}$

Schritt 1.16.1.4

Multipliziere $- \sqrt{5} (- \sqrt{5})$ .

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Schritt 1.16.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{16 - 4 \sqrt{5} - 4 \sqrt{5} + 1 \sqrt{5} \sqrt{5}}{11}$

Schritt 1.16.1.4.2

Mutltipliziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{16 - 4 \sqrt{5} - 4 \sqrt{5} + \sqrt{5} \sqrt{5}}{11}$

Schritt 1.16.1.4.3

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{16 - 4 \sqrt{5} - 4 \sqrt{5} + {\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}{11}$

Schritt 1.16.1.4.4

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{16 - 4 \sqrt{5} - 4 \sqrt{5} + {\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}{11}$

Schritt 1.16.1.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{16 - 4 \sqrt{5} - 4 \sqrt{5} + {\sqrt{5}}^{1 + 1}}{11}$

Schritt 1.16.1.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{16 - 4 \sqrt{5} - 4 \sqrt{5} + {\sqrt{5}}^{2}}{11}$

Schritt 1.16.1.5

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 1.16.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{16 - 4 \sqrt{5} - 4 \sqrt{5} + {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{11}$

Schritt 1.16.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{16 - 4 \sqrt{5} - 4 \sqrt{5} + 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{11}$

Schritt 1.16.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{16 - 4 \sqrt{5} - 4 \sqrt{5} + 5^{\frac{2}{2}}}{11}$

Schritt 1.16.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.16.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{16 - 4 \sqrt{5} - 4 \sqrt{5} + 5^{\frac{2}{2}}}{11}$

Schritt 1.16.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{16 - 4 \sqrt{5} - 4 \sqrt{5} + 5^{1}}{11}$

Schritt 1.16.1.5.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{16 - 4 \sqrt{5} - 4 \sqrt{5} + 5}{11}$

Schritt 1.16.2

Addiere $16$ und $5$ .

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{21 - 4 \sqrt{5} - 4 \sqrt{5}}{11}$

Schritt 1.16.3

Subtrahiere $4 \sqrt{5}$ von $- 4 \sqrt{5}$ .

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{21 - 8 \sqrt{5}}{11}$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{21 + 8 \sqrt{5} + 21 - 8 \sqrt{5}}{11}$

Schritt 2.2

Addiere $21$ und $21$ .

$\frac{42 + 8 \sqrt{5} - 8 \sqrt{5}}{11}$

Schritt 2.3

Subtrahiere $8 \sqrt{5}$ von $8 \sqrt{5}$ .

$\frac{42 + 0}{11}$

Schritt 2.4

Addiere $42$ und $0$ .

$\frac{42}{11}$

Schritt 3

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{42}{11}$

Dezimalform:

$3.\overline{81}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$3 \frac{9}{11}$