Grundlegende Mathematik Beispiele

$\frac{5 \sqrt{c} + 2}{3 + \sqrt{c}}$

Schritt 1

Mutltipliziere $\frac{5 \sqrt{c} + 2}{3 + \sqrt{c}}$ mit $\frac{3 - \sqrt{c}}{3 - \sqrt{c}}$ .

$\frac{5 \sqrt{c} + 2}{3 + \sqrt{c}} \cdot \frac{3 - \sqrt{c}}{3 - \sqrt{c}}$

Schritt 2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.1

Mutltipliziere $\frac{5 \sqrt{c} + 2}{3 + \sqrt{c}}$ mit $\frac{3 - \sqrt{c}}{3 - \sqrt{c}}$ .

$\frac{(5 \sqrt{c} + 2) (3 - \sqrt{c})}{(3 + \sqrt{c}) (3 - \sqrt{c})}$

Schritt 2.2

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\frac{(5 \sqrt{c} + 2) (3 - \sqrt{c})}{9 - 3 \sqrt{c} + \sqrt{c} \cdot 3 - {\sqrt{c}}^{2}}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{c}$ als $c^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{(5 \sqrt{c} + 2) (3 - \sqrt{c})}{9 - {(c^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(5 \sqrt{c} + 2) (3 - \sqrt{c})}{9 - c^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{(5 \sqrt{c} + 2) (3 - \sqrt{c})}{9 - c^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(5 \sqrt{c} + 2) (3 - \sqrt{c})}{9 - c^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(5 \sqrt{c} + 2) (3 - \sqrt{c})}{9 - c^{1}}$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

$\frac{(5 \sqrt{c} + 2) (3 - \sqrt{c})}{9 - c}$

Schritt 3

Multipliziere $(5 \sqrt{c} + 2) (3 - \sqrt{c})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 \sqrt{c} (3 - \sqrt{c}) + 2 (3 - \sqrt{c})}{9 - c}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 \sqrt{c} \cdot 3 + 5 \sqrt{c} (- \sqrt{c}) + 2 (3 - \sqrt{c})}{9 - c}$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 \sqrt{c} \cdot 3 + 5 \sqrt{c} (- \sqrt{c}) + 2 \cdot 3 + 2 (- \sqrt{c})}{9 - c}$

Schritt 4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$\frac{15 \sqrt{c} + 5 \sqrt{c} (- \sqrt{c}) + 2 \cdot 3 + 2 (- \sqrt{c})}{9 - c}$

Schritt 4.1.2

Multipliziere $5 \sqrt{c} (- \sqrt{c})$ .

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{15 \sqrt{c} - 5 \sqrt{c} \sqrt{c} + 2 \cdot 3 + 2 (- \sqrt{c})}{9 - c}$

Schritt 4.1.2.2

Potenziere $\sqrt{c}$ mit $1$ .

$\frac{15 \sqrt{c} - 5 ({\sqrt{c}}^{1} \sqrt{c}) + 2 \cdot 3 + 2 (- \sqrt{c})}{9 - c}$

Schritt 4.1.2.3

Potenziere $\sqrt{c}$ mit $1$ .

$\frac{15 \sqrt{c} - 5 ({\sqrt{c}}^{1} {\sqrt{c}}^{1}) + 2 \cdot 3 + 2 (- \sqrt{c})}{9 - c}$

Schritt 4.1.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{15 \sqrt{c} - 5 {\sqrt{c}}^{1 + 1} + 2 \cdot 3 + 2 (- \sqrt{c})}{9 - c}$

Schritt 4.1.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{15 \sqrt{c} - 5 {\sqrt{c}}^{2} + 2 \cdot 3 + 2 (- \sqrt{c})}{9 - c}$

Schritt 4.1.3

Schreibe ${\sqrt{c}}^{2}$ als $c$ um.

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Schritt 4.1.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{c}$ als $c^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{15 \sqrt{c} - 5 {(c^{\frac{1}{2}})}^{2} + 2 \cdot 3 + 2 (- \sqrt{c})}{9 - c}$

Schritt 4.1.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{15 \sqrt{c} - 5 c^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 2 \cdot 3 + 2 (- \sqrt{c})}{9 - c}$

Schritt 4.1.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{15 \sqrt{c} - 5 c^{\frac{2}{2}} + 2 \cdot 3 + 2 (- \sqrt{c})}{9 - c}$

Schritt 4.1.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{15 \sqrt{c} - 5 c^{\frac{2}{2}} + 2 \cdot 3 + 2 (- \sqrt{c})}{9 - c}$

Schritt 4.1.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{15 \sqrt{c} - 5 c^{1} + 2 \cdot 3 + 2 (- \sqrt{c})}{9 - c}$

Schritt 4.1.3.5

Vereinfache.

$\frac{15 \sqrt{c} - 5 c + 2 \cdot 3 + 2 (- \sqrt{c})}{9 - c}$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{15 \sqrt{c} - 5 c + 6 + 2 (- \sqrt{c})}{9 - c}$

Schritt 4.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{15 \sqrt{c} - 5 c + 6 - 2 \sqrt{c}}{9 - c}$

Schritt 4.2

Subtrahiere $2 \sqrt{c}$ von $15 \sqrt{c}$ .

$\frac{- 5 c + 6 + 13 \sqrt{c}}{9 - c}$

Schritt 5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{c}$ als $c^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{- 5 c + 6 + 13 c^{\frac{1}{2}}}{9 - c}$

Schritt 5.2

Stelle die Terme um.

$\frac{- 5 c + 13 c^{\frac{1}{2}} + 6}{9 - c}$

Schritt 5.3

Schreibe $- 5 c + 13 c^{\frac{1}{2}} + 6$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.3.1

Schreibe $c$ als ${(c^{\frac{1}{2}})}^{2}$ um.

$\frac{- 5 {(c^{\frac{1}{2}})}^{2} + 13 c^{\frac{1}{2}} + 6}{9 - c}$

Schritt 5.3.2

Es sei $u = c^{\frac{1}{2}}$ . Ersetze $u$ für alle $c^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 5 u^{2} + 13 u + 6}{9 - c}$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 5.3.3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 5 \cdot 6 = - 30$ und deren Summe gleich $b = 13$ ist.

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Schritt 5.3.3.1.1

Faktorisiere $13$ aus $13 u$ heraus.

$\frac{- 5 u^{2} + 13 (u) + 6}{9 - c}$

Schritt 5.3.3.1.2

Schreibe $13$ um als $- 2$ plus $15$

$\frac{- 5 u^{2} + (- 2 + 15) u + 6}{9 - c}$

Schritt 5.3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 5 u^{2} - 2 u + 15 u + 6}{9 - c}$

Schritt 5.3.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 5.3.3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(- 5 u^{2} - 2 u) + 15 u + 6}{9 - c}$

Schritt 5.3.3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{u (- 5 u - 2) - 3 (- 5 u - 2)}{9 - c}$

Schritt 5.3.3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- 5 u - 2$ .

$\frac{(- 5 u - 2) (u - 3)}{9 - c}$

Schritt 5.3.4

Ersetze alle $u$ durch $c^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(- 5 c^{\frac{1}{2}} - 2) (c^{\frac{1}{2}} - 3)}{9 - c}$

Schritt 5.3.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 5 c^{\frac{1}{2}} - 2$ heraus.

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Schritt 5.3.5.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 5 c^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{(- (5 c^{\frac{1}{2}}) - 2) (c^{\frac{1}{2}} - 3)}{9 - c}$

Schritt 5.3.5.2

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$\frac{(- (5 c^{\frac{1}{2}}) - 1 (2)) (c^{\frac{1}{2}} - 3)}{9 - c}$

Schritt 5.3.5.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (5 c^{\frac{1}{2}}) - 1 (2)$ heraus.

$\frac{- (5 c^{\frac{1}{2}} + 2) (c^{\frac{1}{2}} - 3)}{9 - c}$

Schritt 6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{(5 c^{\frac{1}{2}} + 2) (c^{\frac{1}{2}} - 3)}{9 - c}$