Grundlegende Mathematik Beispiele

$\frac{9 a^{2} - 4 b^{2}}{\sqrt{3 a} - \sqrt{2 b}}$

Schritt 1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1

Schreibe $9 a^{2}$ als ${(3 a)}^{2}$ um.

$\frac{{(3 a)}^{2} - 4 b^{2}}{\sqrt{3 a} - \sqrt{2 b}}$

Schritt 1.2

Schreibe $4 b^{2}$ als ${(2 b)}^{2}$ um.

$\frac{{(3 a)}^{2} - {(2 b)}^{2}}{\sqrt{3 a} - \sqrt{2 b}}$

Schritt 1.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 3 a$ und $b = 2 b$ .

$\frac{(3 a + 2 b) (3 a - (2 b))}{\sqrt{3 a} - \sqrt{2 b}}$

Schritt 1.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{(3 a + 2 b) (3 a - 2 b)}{\sqrt{3 a} - \sqrt{2 b}}$

Schritt 2

Mutltipliziere $\frac{(3 a + 2 b) (3 a - 2 b)}{\sqrt{3 a} - \sqrt{2 b}}$ mit $\frac{\sqrt{3 a} + \sqrt{2 b}}{\sqrt{3 a} + \sqrt{2 b}}$ .

$\frac{(3 a + 2 b) (3 a - 2 b)}{\sqrt{3 a} - \sqrt{2 b}} \cdot \frac{\sqrt{3 a} + \sqrt{2 b}}{\sqrt{3 a} + \sqrt{2 b}}$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{(3 a + 2 b) (3 a - 2 b)}{\sqrt{3 a} - \sqrt{2 b}}$ mit $\frac{\sqrt{3 a} + \sqrt{2 b}}{\sqrt{3 a} + \sqrt{2 b}}$ .

$\frac{(3 a + 2 b) (3 a - 2 b) (\sqrt{3 a} + \sqrt{2 b})}{(\sqrt{3 a} - \sqrt{2 b}) (\sqrt{3 a} + \sqrt{2 b})}$

Schritt 3.2

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\frac{(3 a + 2 b) (3 a - 2 b) (\sqrt{3 a} + \sqrt{2 b})}{{\sqrt{3 a}}^{2} + \sqrt{6 a b} - \sqrt{6 a b} - {\sqrt{2 b}}^{2}}$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Schreibe ${\sqrt{3 a}}^{2}$ als $3 a$ um.

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Schritt 3.3.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3 a}$ als ${(3 a)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{(3 a + 2 b) (3 a - 2 b) (\sqrt{3 a} + \sqrt{2 b})}{{({(3 a)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - {\sqrt{2 b}}^{2}}$

Schritt 3.3.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(3 a + 2 b) (3 a - 2 b) (\sqrt{3 a} + \sqrt{2 b})}{{(3 a)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {\sqrt{2 b}}^{2}}$

Schritt 3.3.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{(3 a + 2 b) (3 a - 2 b) (\sqrt{3 a} + \sqrt{2 b})}{{(3 a)}^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{2 b}}^{2}}$

Schritt 3.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(3 a + 2 b) (3 a - 2 b) (\sqrt{3 a} + \sqrt{2 b})}{{(3 a)}^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{2 b}}^{2}}$

Schritt 3.3.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(3 a + 2 b) (3 a - 2 b) (\sqrt{3 a} + \sqrt{2 b})}{{(3 a)}^{1} - {\sqrt{2 b}}^{2}}$

Schritt 3.3.1.5

Vereinfache.

$\frac{(3 a + 2 b) (3 a - 2 b) (\sqrt{3 a} + \sqrt{2 b})}{3 a - {\sqrt{2 b}}^{2}}$

Schritt 3.3.2

Schreibe ${\sqrt{2 b}}^{2}$ als $2 b$ um.

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Schritt 3.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 b}$ als ${(2 b)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{(3 a + 2 b) (3 a - 2 b) (\sqrt{3 a} + \sqrt{2 b})}{3 a - {({(2 b)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.3.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(3 a + 2 b) (3 a - 2 b) (\sqrt{3 a} + \sqrt{2 b})}{3 a - {(2 b)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.3.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{(3 a + 2 b) (3 a - 2 b) (\sqrt{3 a} + \sqrt{2 b})}{3 a - {(2 b)}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(3 a + 2 b) (3 a - 2 b) (\sqrt{3 a} + \sqrt{2 b})}{3 a - {(2 b)}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.3.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(3 a + 2 b) (3 a - 2 b) (\sqrt{3 a} + \sqrt{2 b})}{3 a - {(2 b)}^{1}}$

Schritt 3.3.2.5

Vereinfache.

$\frac{(3 a + 2 b) (3 a - 2 b) (\sqrt{3 a} + \sqrt{2 b})}{3 a - (2 b)}$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{(3 a + 2 b) (3 a - 2 b) (\sqrt{3 a} + \sqrt{2 b})}{3 a - 2 b}$

Schritt 3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 a - 2 b$ .

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Schritt 3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(3 a + 2 b) (3 a - 2 b) (\sqrt{3 a} + \sqrt{2 b})}{3 a - 2 b}$

Schritt 3.4.2

Dividiere $(3 a + 2 b) (\sqrt{3 a} + \sqrt{2 b})$ durch $1$ .

$(3 a + 2 b) (\sqrt{3 a} + \sqrt{2 b})$

Schritt 4

Multipliziere $(3 a + 2 b) (\sqrt{3 a} + \sqrt{2 b})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 a (\sqrt{3 a} + \sqrt{2 b}) + 2 b (\sqrt{3 a} + \sqrt{2 b})$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$3 a \sqrt{3 a} + 3 a \sqrt{2 b} + 2 b (\sqrt{3 a} + \sqrt{2 b})$

Schritt 4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 a \sqrt{3 a} + 3 a \sqrt{2 b} + 2 b \sqrt{3 a} + 2 b \sqrt{2 b}$