Grundlegende Mathematik Beispiele

$\frac{\sqrt{5} + \sqrt{45}}{3 - \sqrt{20}}$

Schritt 1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1

Schreibe $45$ als $3^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $9$ aus $45$ heraus.

$\frac{\sqrt{5} + \sqrt{9 (5)}}{3 - \sqrt{20}}$

Schritt 1.1.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3^{2} \cdot 5}}{3 - \sqrt{20}}$

Schritt 1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{\sqrt{5} + 3 \sqrt{5}}{3 - \sqrt{20}}$

Schritt 1.3

Addiere $\sqrt{5}$ und $3 \sqrt{5}$ .

$\frac{4 \sqrt{5}}{3 - \sqrt{20}}$

Schritt 2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1

Schreibe $20$ als $2^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$\frac{4 \sqrt{5}}{3 - \sqrt{4 (5)}}$

Schritt 2.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{4 \sqrt{5}}{3 - \sqrt{2^{2} \cdot 5}}$

Schritt 2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{4 \sqrt{5}}{3 - (2 \sqrt{5})}$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{4 \sqrt{5}}{3 - 2 \sqrt{5}}$

Schritt 3

Mutltipliziere $\frac{4 \sqrt{5}}{3 - 2 \sqrt{5}}$ mit $\frac{3 + 2 \sqrt{5}}{3 + 2 \sqrt{5}}$ .

$\frac{4 \sqrt{5}}{3 - 2 \sqrt{5}} \cdot \frac{3 + 2 \sqrt{5}}{3 + 2 \sqrt{5}}$

Schritt 4

Mutltipliziere $\frac{4 \sqrt{5}}{3 - 2 \sqrt{5}}$ mit $\frac{3 + 2 \sqrt{5}}{3 + 2 \sqrt{5}}$ .

$\frac{4 \sqrt{5} (3 + 2 \sqrt{5})}{(3 - 2 \sqrt{5}) (3 + 2 \sqrt{5})}$

Schritt 5

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\frac{4 \sqrt{5} (3 + 2 \sqrt{5})}{9 + 6 \sqrt{5} - 6 \sqrt{5} - 4 {\sqrt{5}}^{2}}$

Schritt 6

Vereinfache.

$\frac{4 \sqrt{5} (3 + 2 \sqrt{5})}{- 11}$

Schritt 7

Gruppiere $3 + 2 \sqrt{5}$ und $\sqrt{5}$ .

$\frac{4 ((3 + 2 \sqrt{5}) \sqrt{5})}{- 11}$

Schritt 8

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 (3 \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} \sqrt{5})}{- 11}$

Schritt 9

Multipliziere $2 \sqrt{5} \sqrt{5}$ .

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Schritt 9.1

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\frac{4 (3 \sqrt{5} + 2 ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}))}{- 11}$

Schritt 9.2

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\frac{4 (3 \sqrt{5} + 2 ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}))}{- 11}$

Schritt 9.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{4 (3 \sqrt{5} + 2 {\sqrt{5}}^{1 + 1})}{- 11}$

Schritt 9.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{4 (3 \sqrt{5} + 2 {\sqrt{5}}^{2})}{- 11}$

Schritt 10

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.1

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 10.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{4 (3 \sqrt{5} + 2 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2})}{- 11}$

Schritt 10.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 (3 \sqrt{5} + 2 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{- 11}$

Schritt 10.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{4 (3 \sqrt{5} + 2 \cdot 5^{\frac{2}{2}})}{- 11}$

Schritt 10.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 (3 \sqrt{5} + 2 \cdot 5^{\frac{2}{2}})}{- 11}$

Schritt 10.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 (3 \sqrt{5} + 2 \cdot 5^{1})}{- 11}$

Schritt 10.1.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{4 (3 \sqrt{5} + 2 \cdot 5)}{- 11}$

Schritt 10.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$\frac{4 (3 \sqrt{5} + 10)}{- 11}$

Schritt 11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{4 (3 \sqrt{5} + 10)}{11}$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{4 (3 \sqrt{5} + 10)}{11}$

Dezimalform:

$- 6.07571052 \dots$