Grundlegende Mathematik Beispiele

$\frac{z^{2} - y^{2}}{z^{- 2} - y^{- 2}}$

Schritt 1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = z$ und $b = y$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{z^{- 2} - y^{- 2}}$

Schritt 2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1

Schreibe $z^{- 2}$ als ${(z^{- 1})}^{2}$ um.

$\frac{(z + y) (z - y)}{{(z^{- 1})}^{2} - y^{- 2}}$

Schritt 2.2

Schreibe $y^{- 2}$ als ${(y^{- 1})}^{2}$ um.

$\frac{(z + y) (z - y)}{{(z^{- 1})}^{2} - {(y^{- 1})}^{2}}$

Schritt 2.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = z^{- 1}$ und $b = y^{- 1}$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{(z^{- 1} + y^{- 1}) (z^{- 1} - y^{- 1})}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{(\frac{1}{z} + y^{- 1}) (z^{- 1} - y^{- 1})}$

Schritt 2.4.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{(\frac{1}{z} + \frac{1}{y}) (z^{- 1} - y^{- 1})}$

Schritt 2.4.3

Um $\frac{1}{z}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{y}{y}$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{(\frac{1}{z} \cdot \frac{y}{y} + \frac{1}{y}) (z^{- 1} - y^{- 1})}$

Schritt 2.4.4

Um $\frac{1}{y}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{z}{z}$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{(\frac{1}{z} \cdot \frac{y}{y} + \frac{1}{y} \cdot \frac{z}{z}) (z^{- 1} - y^{- 1})}$

Schritt 2.4.5

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $z y$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.4.5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{z}$ mit $\frac{y}{y}$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{(\frac{y}{z y} + \frac{1}{y} \cdot \frac{z}{z}) (z^{- 1} - y^{- 1})}$

Schritt 2.4.5.2

Mutltipliziere $\frac{1}{y}$ mit $\frac{z}{z}$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{(\frac{y}{z y} + \frac{z}{y z}) (z^{- 1} - y^{- 1})}$

Schritt 2.4.5.3

Stelle die Faktoren von $z y$ um.

$\frac{(z + y) (z - y)}{(\frac{y}{y z} + \frac{z}{y z}) (z^{- 1} - y^{- 1})}$

Schritt 2.4.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(z + y) (z - y)}{\frac{y + z}{y z} (z^{- 1} - y^{- 1})}$

Schritt 2.4.7

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{\frac{y + z}{y z} (\frac{1}{z} - y^{- 1})}$

Schritt 2.4.8

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{\frac{y + z}{y z} (\frac{1}{z} - \frac{1}{y})}$

Schritt 2.4.9

Um $\frac{1}{z}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{y}{y}$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{\frac{y + z}{y z} (\frac{1}{z} \cdot \frac{y}{y} - \frac{1}{y})}$

Schritt 2.4.10

Um $- \frac{1}{y}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{z}{z}$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{\frac{y + z}{y z} (\frac{1}{z} \cdot \frac{y}{y} - \frac{1}{y} \cdot \frac{z}{z})}$

Schritt 2.4.11

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $z y$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.4.11.1

Mutltipliziere $\frac{1}{z}$ mit $\frac{y}{y}$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{\frac{y + z}{y z} (\frac{y}{z y} - \frac{1}{y} \cdot \frac{z}{z})}$

Schritt 2.4.11.2

Mutltipliziere $\frac{1}{y}$ mit $\frac{z}{z}$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{\frac{y + z}{y z} (\frac{y}{z y} - \frac{z}{y z})}$

Schritt 2.4.11.3

Stelle die Faktoren von $z y$ um.

$\frac{(z + y) (z - y)}{\frac{y + z}{y z} (\frac{y}{y z} - \frac{z}{y z})}$

Schritt 2.4.12

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(z + y) (z - y)}{\frac{y + z}{y z} \cdot \frac{y - z}{y z}}$

Schritt 3

Mutltipliziere $\frac{y + z}{y z}$ mit $\frac{y - z}{y z}$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{\frac{(y + z) (y - z)}{y z (y z)}}$

Schritt 4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{\frac{(y + z) (y - z)}{y^{1} y z \cdot z}}$

Schritt 4.2

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{\frac{(y + z) (y - z)}{y^{1} y^{1} z \cdot z}}$

Schritt 4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{(z + y) (z - y)}{\frac{(y + z) (y - z)}{y^{1 + 1} z \cdot z}}$

Schritt 4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{\frac{(y + z) (y - z)}{y^{2} z \cdot z}}$

Schritt 4.5

Potenziere $z$ mit $1$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{\frac{(y + z) (y - z)}{y^{2} (z^{1} z)}}$

Schritt 4.6

Potenziere $z$ mit $1$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{\frac{(y + z) (y - z)}{y^{2} (z^{1} z^{1})}}$

Schritt 4.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{(z + y) (z - y)}{\frac{(y + z) (y - z)}{y^{2} z^{1 + 1}}}$

Schritt 4.8

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{\frac{(y + z) (y - z)}{y^{2} z^{2}}}$

Schritt 5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$(z + y) (z - y) \frac{y^{2} z^{2}}{(y + z) (y - z)}$

Schritt 6

Multipliziere $(z + y) (z - y)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(z (z - y) + y (z - y)) \frac{y^{2} z^{2}}{(y + z) (y - z)}$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(z \cdot z + z (- y) + y (z - y)) \frac{y^{2} z^{2}}{(y + z) (y - z)}$

Schritt 6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(z \cdot z + z (- y) + y z + y (- y)) \frac{y^{2} z^{2}}{(y + z) (y - z)}$

Schritt 7

Vereinfache Terme.

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Schritt 7.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $z \cdot z + z (- y) + y z + y (- y)$ .

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Schritt 7.1.1

Ordne die Faktoren in den Termen $z (- y)$ und $y z$ neu an.

$(z \cdot z - y z + y z + y (- y)) \frac{y^{2} z^{2}}{(y + z) (y - z)}$

Schritt 7.1.2

Addiere $- y z$ und $y z$ .

$(z \cdot z + 0 + y (- y)) \frac{y^{2} z^{2}}{(y + z) (y - z)}$

Schritt 7.1.3

Addiere $z \cdot z$ und $0$ .

$(z \cdot z + y (- y)) \frac{y^{2} z^{2}}{(y + z) (y - z)}$

Schritt 7.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1

Mutltipliziere $z$ mit $z$ .

$(z^{2} + y (- y)) \frac{y^{2} z^{2}}{(y + z) (y - z)}$

Schritt 7.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(z^{2} - y \cdot y) \frac{y^{2} z^{2}}{(y + z) (y - z)}$

Schritt 7.2.3

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.2.3.1

Bewege $y$ .

$(z^{2} - (y \cdot y)) \frac{y^{2} z^{2}}{(y + z) (y - z)}$

Schritt 7.2.3.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$(z^{2} - y^{2}) \frac{y^{2} z^{2}}{(y + z) (y - z)}$

Schritt 7.3

Mutltipliziere $z^{2} - y^{2}$ mit $\frac{y^{2} z^{2}}{(y + z) (y - z)}$ .

$\frac{(z^{2} - y^{2}) (y^{2} z^{2})}{(y + z) (y - z)}$

Schritt 8

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = z$ und $b = y$ .

$\frac{(z + y) (z - y) y^{2} z^{2}}{(y + z) (y - z)}$

Schritt 9

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $z + y$ und $y + z$ .

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Schritt 9.1.1

Stelle die Terme um.

$\frac{(y + z) (z - y) y^{2} z^{2}}{(y + z) (y - z)}$

Schritt 9.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(y + z) (z - y) y^{2} z^{2}}{(y + z) (y - z)}$

Schritt 9.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(z - y) y^{2} z^{2}}{y - z}$

Schritt 9.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $z - y$ und $y - z$ .

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Schritt 9.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $z$ heraus.

$\frac{(- 1 (- z) - y) y^{2} z^{2}}{y - z}$

Schritt 9.2.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- y$ heraus.

$\frac{(- 1 (- z) - (y)) y^{2} z^{2}}{y - z}$

Schritt 9.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- z) - (y)$ heraus.

$\frac{- 1 (- z + y) y^{2} z^{2}}{y - z}$

Schritt 9.2.4

Stelle die Terme um.

$\frac{- 1 (y - z) y^{2} z^{2}}{y - z}$

Schritt 9.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1 (y - z) y^{2} z^{2}}{y - z}$

Schritt 9.2.6

Dividiere $- 1 y^{2} z^{2}$ durch $1$ .

$- 1 y^{2} z^{2}$

Schritt 9.3

Schreibe $- 1 y^{2}$ als $- y^{2}$ um.

$- y^{2} z^{2}$