Grundlegende Mathematik Beispiele

$\frac{15 + 2 y - y^{2}}{3 y^{2} - 16 y + 5}$

Schritt 1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1

Schreibe $15$ um als $16$ plus $- 1$

$\frac{16 - 1 + 2 y - y^{2}}{3 y^{2} - 16 y + 5}$

Schritt 1.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 1.2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{16 - (1^{2} - 2 y + y^{2})}{3 y^{2} - 16 y + 5}$

Schritt 1.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 y = 2 \cdot 1 \cdot y$

Schritt 1.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{16 - (1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot y + y^{2})}{3 y^{2} - 16 y + 5}$

Schritt 1.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = 1$ und $b = y$ .

$\frac{16 - {(1 - y)}^{2}}{3 y^{2} - 16 y + 5}$

Schritt 1.3

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{4^{2} - {(1 - y)}^{2}}{3 y^{2} - 16 y + 5}$

Schritt 1.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 4$ und $b = 1 - y$ .

$\frac{(4 + 1 - y) (4 - (1 - y))}{3 y^{2} - 16 y + 5}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Addiere $4$ und $1$ .

$\frac{(5 - y) (4 - (1 - y))}{3 y^{2} - 16 y + 5}$

Schritt 1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(5 - y) (4 - 1 \cdot 1 - - y)}{3 y^{2} - 16 y + 5}$

Schritt 1.5.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{(5 - y) (4 - 1 - - y)}{3 y^{2} - 16 y + 5}$

Schritt 1.5.4

Multipliziere $- - y$ .

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Schritt 1.5.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{(5 - y) (4 - 1 + 1 y)}{3 y^{2} - 16 y + 5}$

Schritt 1.5.4.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$\frac{(5 - y) (4 - 1 + y)}{3 y^{2} - 16 y + 5}$

Schritt 1.5.5

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$\frac{(5 - y) (3 + y)}{3 y^{2} - 16 y + 5}$

Schritt 2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot 5 = 15$ und deren Summe gleich $b = - 16$ ist.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $- 16$ aus $- 16 y$ heraus.

$\frac{(5 - y) (3 + y)}{3 y^{2} - 16 (y) + 5}$

Schritt 2.1.2

Schreibe $- 16$ um als $- 1$ plus $- 15$

$\frac{(5 - y) (3 + y)}{3 y^{2} + (- 1 - 15) y + 5}$

Schritt 2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(5 - y) (3 + y)}{3 y^{2} - 1 y - 15 y + 5}$

Schritt 2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(5 - y) (3 + y)}{(3 y^{2} - 1 y) - 15 y + 5}$

Schritt 2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{(5 - y) (3 + y)}{y (3 y - 1) - 5 (3 y - 1)}$

Schritt 2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 y - 1$ .

$\frac{(5 - y) (3 + y)}{(3 y - 1) (y - 5)}$

Schritt 3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $5 - y$ und $y - 5$ .

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Schritt 3.1

Schreibe $5$ als $- 1 (- 5)$ um.

$\frac{(- 1 (- 5) - y) (3 + y)}{(3 y - 1) (y - 5)}$

Schritt 3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- y$ heraus.

$\frac{(- 1 (- 5) - (y)) (3 + y)}{(3 y - 1) (y - 5)}$

Schritt 3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- 5) - (y)$ heraus.

$\frac{- 1 (- 5 + y) (3 + y)}{(3 y - 1) (y - 5)}$

Schritt 3.4

Stelle die Terme um.

$\frac{- 1 (y - 5) (3 + y)}{(3 y - 1) (y - 5)}$

Schritt 3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1 (y - 5) (3 + y)}{(3 y - 1) (y - 5)}$

Schritt 3.6

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1 (3 + y)}{3 y - 1}$

Schritt 4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3 + y}{3 y - 1}$