Grundlegende Mathematik Beispiele

$\frac{25 y^{2} - 1}{9 y^{2} - 6 y} \div \frac{5 y^{2} + 9 y - 2}{3 y^{2} + y - 2}$

Schritt 1

Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.

$\frac{25 y^{2} - 1}{9 y^{2} - 6 y} \cdot \frac{3 y^{2} + y - 2}{5 y^{2} + 9 y - 2}$

Schritt 2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1

Schreibe $25 y^{2}$ als ${(5 y)}^{2}$ um.

$\frac{{(5 y)}^{2} - 1}{9 y^{2} - 6 y} \cdot \frac{3 y^{2} + y - 2}{5 y^{2} + 9 y - 2}$

Schritt 2.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{{(5 y)}^{2} - 1^{2}}{9 y^{2} - 6 y} \cdot \frac{3 y^{2} + y - 2}{5 y^{2} + 9 y - 2}$

Schritt 2.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 5 y$ und $b = 1$ .

$\frac{(5 y + 1) (5 y - 1)}{9 y^{2} - 6 y} \cdot \frac{3 y^{2} + y - 2}{5 y^{2} + 9 y - 2}$

Schritt 3

Faktorisiere $3 y$ aus $9 y^{2} - 6 y$ heraus.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $3 y$ aus $9 y^{2}$ heraus.

$\frac{(5 y + 1) (5 y - 1)}{3 y (3 y) - 6 y} \cdot \frac{3 y^{2} + y - 2}{5 y^{2} + 9 y - 2}$

Schritt 3.2

Faktorisiere $3 y$ aus $- 6 y$ heraus.

$\frac{(5 y + 1) (5 y - 1)}{3 y (3 y) + 3 y (- 2)} \cdot \frac{3 y^{2} + y - 2}{5 y^{2} + 9 y - 2}$

Schritt 3.3

Faktorisiere $3 y$ aus $3 y (3 y) + 3 y (- 2)$ heraus.

$\frac{(5 y + 1) (5 y - 1)}{3 y (3 y - 2)} \cdot \frac{3 y^{2} + y - 2}{5 y^{2} + 9 y - 2}$

Schritt 4

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot - 2 = - 6$ und deren Summe gleich $b = 1$ ist.

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Schritt 4.1.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{(5 y + 1) (5 y - 1)}{3 y (3 y - 2)} \cdot \frac{3 y^{2} + 1 y - 2}{5 y^{2} + 9 y - 2}$

Schritt 4.1.2

Schreibe $1$ um als $- 2$ plus $3$

$\frac{(5 y + 1) (5 y - 1)}{3 y (3 y - 2)} \cdot \frac{3 y^{2} + (- 2 + 3) y - 2}{5 y^{2} + 9 y - 2}$

Schritt 4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(5 y + 1) (5 y - 1)}{3 y (3 y - 2)} \cdot \frac{3 y^{2} - 2 y + 3 y - 2}{5 y^{2} + 9 y - 2}$

Schritt 4.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(5 y + 1) (5 y - 1)}{3 y (3 y - 2)} \cdot \frac{(3 y^{2} - 2 y) + 3 y - 2}{5 y^{2} + 9 y - 2}$

Schritt 4.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{(5 y + 1) (5 y - 1)}{3 y (3 y - 2)} \cdot \frac{y (3 y - 2) + 1 (3 y - 2)}{5 y^{2} + 9 y - 2}$

Schritt 4.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 y - 2$ .

$\frac{(5 y + 1) (5 y - 1)}{3 y (3 y - 2)} \cdot \frac{(3 y - 2) (y + 1)}{5 y^{2} + 9 y - 2}$

Schritt 5

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 5.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 5 \cdot - 2 = - 10$ und deren Summe gleich $b = 9$ ist.

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $9$ aus $9 y$ heraus.

$\frac{(5 y + 1) (5 y - 1)}{3 y (3 y - 2)} \cdot \frac{(3 y - 2) (y + 1)}{5 y^{2} + 9 (y) - 2}$

Schritt 5.1.2

Schreibe $9$ um als $- 1$ plus $10$

$\frac{(5 y + 1) (5 y - 1)}{3 y (3 y - 2)} \cdot \frac{(3 y - 2) (y + 1)}{5 y^{2} + (- 1 + 10) y - 2}$

Schritt 5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(5 y + 1) (5 y - 1)}{3 y (3 y - 2)} \cdot \frac{(3 y - 2) (y + 1)}{5 y^{2} - 1 y + 10 y - 2}$

Schritt 5.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 5.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(5 y + 1) (5 y - 1)}{3 y (3 y - 2)} \cdot \frac{(3 y - 2) (y + 1)}{(5 y^{2} - 1 y) + 10 y - 2}$

Schritt 5.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{(5 y + 1) (5 y - 1)}{3 y (3 y - 2)} \cdot \frac{(3 y - 2) (y + 1)}{y (5 y - 1) + 2 (5 y - 1)}$

Schritt 5.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $5 y - 1$ .

$\frac{(5 y + 1) (5 y - 1)}{3 y (3 y - 2)} \cdot \frac{(3 y - 2) (y + 1)}{(5 y - 1) (y + 2)}$

Schritt 6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5 y - 1$ .

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Schritt 6.1

Faktorisiere $5 y - 1$ aus $(5 y + 1) (5 y - 1)$ heraus.

$\frac{(5 y - 1) (5 y + 1)}{3 y (3 y - 2)} \cdot \frac{(3 y - 2) (y + 1)}{(5 y - 1) (y + 2)}$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(5 y - 1) (5 y + 1)}{3 y (3 y - 2)} \cdot \frac{(3 y - 2) (y + 1)}{(5 y - 1) (y + 2)}$

Schritt 6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5 y + 1}{3 y (3 y - 2)} \cdot \frac{(3 y - 2) (y + 1)}{y + 2}$

Schritt 7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 y - 2$ .

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Schritt 7.1

Faktorisiere $3 y - 2$ aus $3 y (3 y - 2)$ heraus.

$\frac{5 y + 1}{(3 y - 2) (3 y)} \cdot \frac{(3 y - 2) (y + 1)}{y + 2}$

Schritt 7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 y + 1}{(3 y - 2) (3 y)} \cdot \frac{(3 y - 2) (y + 1)}{y + 2}$

Schritt 7.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5 y + 1}{3 y} \cdot \frac{y + 1}{y + 2}$

Schritt 8

Mutltipliziere $\frac{5 y + 1}{3 y}$ mit $\frac{y + 1}{y + 2}$ .

$\frac{(5 y + 1) (y + 1)}{3 y (y + 2)}$