Grundlegende Mathematik Beispiele

$\frac{20 a}{4 a + 8 b} \div \frac{a^{3} - 8 b^{3}}{a^{2} - 4 b^{2}}$

Schritt 1

Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.

$\frac{20 a}{4 a + 8 b} \cdot \frac{a^{2} - 4 b^{2}}{a^{3} - 8 b^{3}}$

Schritt 2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $20$ und $4 a + 8 b$ .

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Schritt 2.1

Faktorisiere $4$ aus $20 a$ heraus.

$\frac{4 (5 a)}{4 a + 8 b} \cdot \frac{a^{2} - 4 b^{2}}{a^{3} - 8 b^{3}}$

Schritt 2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 a$ heraus.

$\frac{4 (5 a)}{4 (a) + 8 b} \cdot \frac{a^{2} - 4 b^{2}}{a^{3} - 8 b^{3}}$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere $4$ aus $8 b$ heraus.

$\frac{4 (5 a)}{4 (a) + 4 (2 b)} \cdot \frac{a^{2} - 4 b^{2}}{a^{3} - 8 b^{3}}$

Schritt 2.2.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (a) + 4 (2 b)$ heraus.

$\frac{4 (5 a)}{4 (a + 2 b)} \cdot \frac{a^{2} - 4 b^{2}}{a^{3} - 8 b^{3}}$

Schritt 2.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 (5 a)}{4 (a + 2 b)} \cdot \frac{a^{2} - 4 b^{2}}{a^{3} - 8 b^{3}}$

Schritt 2.2.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5 a}{a + 2 b} \cdot \frac{a^{2} - 4 b^{2}}{a^{3} - 8 b^{3}}$

Schritt 3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1

Schreibe $4 b^{2}$ als ${(2 b)}^{2}$ um.

$\frac{5 a}{a + 2 b} \cdot \frac{a^{2} - {(2 b)}^{2}}{a^{3} - 8 b^{3}}$

Schritt 3.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = a$ und $b = 2 b$ .

$\frac{5 a}{a + 2 b} \cdot \frac{(a + 2 b) (a - (2 b))}{a^{3} - 8 b^{3}}$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{5 a}{a + 2 b} \cdot \frac{(a + 2 b) (a - 2 b)}{a^{3} - 8 b^{3}}$

Schritt 4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1

Schreibe $8 b^{3}$ als ${(2 b)}^{3}$ um.

$\frac{5 a}{a + 2 b} \cdot \frac{(a + 2 b) (a - 2 b)}{a^{3} - {(2 b)}^{3}}$

Schritt 4.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = a$ und $b = 2 b$ .

$\frac{5 a}{a + 2 b} \cdot \frac{(a + 2 b) (a - 2 b)}{(a - (2 b)) (a^{2} + a (2 b) + {(2 b)}^{2})}$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{5 a}{a + 2 b} \cdot \frac{(a + 2 b) (a - 2 b)}{(a - 2 b) (a^{2} + a (2 b) + {(2 b)}^{2})}$

Schritt 4.3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{5 a}{a + 2 b} \cdot \frac{(a + 2 b) (a - 2 b)}{(a - 2 b) (a^{2} + 2 a b + {(2 b)}^{2})}$

Schritt 4.3.3

Wende die Produktregel auf $2 b$ an.

$\frac{5 a}{a + 2 b} \cdot \frac{(a + 2 b) (a - 2 b)}{(a - 2 b) (a^{2} + 2 a b + 2^{2} b^{2})}$

Schritt 4.3.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{5 a}{a + 2 b} \cdot \frac{(a + 2 b) (a - 2 b)}{(a - 2 b) (a^{2} + 2 a b + 4 b^{2})}$

Schritt 5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a + 2 b$ .

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Schritt 5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 a}{a + 2 b} \cdot \frac{(a + 2 b) (a - 2 b)}{(a - 2 b) (a^{2} + 2 a b + 4 b^{2})}$

Schritt 5.1.2

Forme den Ausdruck um.

$5 a \frac{a - 2 b}{(a - 2 b) (a^{2} + 2 a b + 4 b^{2})}$

Schritt 5.2

Kombiniere $5$ und $\frac{a - 2 b}{(a - 2 b) (a^{2} + 2 a b + 4 b^{2})}$ .

$a \frac{5 (a - 2 b)}{(a - 2 b) (a^{2} + 2 a b + 4 b^{2})}$

Schritt 5.3

Kombiniere $a$ und $\frac{5 (a - 2 b)}{(a - 2 b) (a^{2} + 2 a b + 4 b^{2})}$ .

$\frac{a (5 (a - 2 b))}{(a - 2 b) (a^{2} + 2 a b + 4 b^{2})}$

Schritt 5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a - 2 b$ .

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Schritt 5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{a (5 (a - 2 b))}{(a - 2 b) (a^{2} + 2 a b + 4 b^{2})}$

Schritt 5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{a \cdot (5)}{a^{2} + 2 a b + 4 b^{2}}$

Schritt 5.5

Bringe $5$ auf die linke Seite von $a$ .

$\frac{5 a}{a^{2} + 2 a b + 4 b^{2}}$