Grundlegende Mathematik Beispiele

$\frac{3 \sqrt{243 y^{8}}}{\sqrt[3]{9}}$

Schritt 1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1

Schreibe $243 y^{8}$ als ${(9 y^{4})}^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $81$ aus $243$ heraus.

$\frac{3 \sqrt{81 (3) y^{8}}}{\sqrt[3]{9}}$

Schritt 1.1.2

Schreibe $81$ als $9^{2}$ um.

$\frac{3 \sqrt{9^{2} \cdot 3 y^{8}}}{\sqrt[3]{9}}$

Schritt 1.1.3

Schreibe $y^{8}$ als ${(y^{4})}^{2}$ um.

$\frac{3 \sqrt{9^{2} \cdot 3 {(y^{4})}^{2}}}{\sqrt[3]{9}}$

Schritt 1.1.4

Bewege $3$ .

$\frac{3 \sqrt{9^{2} {(y^{4})}^{2} \cdot 3}}{\sqrt[3]{9}}$

Schritt 1.1.5

Schreibe $9^{2} {(y^{4})}^{2}$ als ${(9 y^{4})}^{2}$ um.

$\frac{3 \sqrt{{(9 y^{4})}^{2} \cdot 3}}{\sqrt[3]{9}}$

Schritt 1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{3 \cdot 9 y^{4} \sqrt{3}}{\sqrt[3]{9}}$

Schritt 1.3

Mutltipliziere $3$ mit $9$ .

$\frac{27 y^{4} \sqrt{3}}{\sqrt[3]{9}}$

Schritt 2

Mutltipliziere $\frac{27 y^{4} \sqrt{3}}{\sqrt[3]{9}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{2}}$ .

$\frac{27 y^{4} \sqrt{3}}{\sqrt[3]{9}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{2}}$

Schritt 3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{27 y^{4} \sqrt{3}}{\sqrt[3]{9}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{2}}$ .

$\frac{27 y^{4} \sqrt{3} {\sqrt[3]{9}}^{2}}{\sqrt[3]{9} {\sqrt[3]{9}}^{2}}$

Schritt 3.2

Potenziere $\sqrt[3]{9}$ mit $1$ .

$\frac{27 y^{4} \sqrt{3} {\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{1} {\sqrt[3]{9}}^{2}}$

Schritt 3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{27 y^{4} \sqrt{3} {\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{1 + 2}}$

Schritt 3.4

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{27 y^{4} \sqrt{3} {\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{3}}$

Schritt 3.5

Schreibe ${\sqrt[3]{9}}^{3}$ als $9$ um.

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Schritt 3.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{9}$ als $9^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\frac{27 y^{4} \sqrt{3} {\sqrt[3]{9}}^{2}}{{(9^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Schritt 3.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{27 y^{4} \sqrt{3} {\sqrt[3]{9}}^{2}}{9^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Schritt 3.5.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$\frac{27 y^{4} \sqrt{3} {\sqrt[3]{9}}^{2}}{9^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 3.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{27 y^{4} \sqrt{3} {\sqrt[3]{9}}^{2}}{9^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 3.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{27 y^{4} \sqrt{3} {\sqrt[3]{9}}^{2}}{9^{1}}$

Schritt 3.5.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{27 y^{4} \sqrt{3} {\sqrt[3]{9}}^{2}}{9}$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $27$ und $9$ .

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Schritt 4.1

Faktorisiere $9$ aus $27 y^{4} \sqrt{3} {\sqrt[3]{9}}^{2}$ heraus.

$\frac{9 (3 y^{4} \sqrt{3} {\sqrt[3]{9}}^{2})}{9}$

Schritt 4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $9$ aus $9$ heraus.

$\frac{9 (3 y^{4} \sqrt{3} {\sqrt[3]{9}}^{2})}{9 (1)}$

Schritt 4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 (3 y^{4} \sqrt{3} {\sqrt[3]{9}}^{2})}{9 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 y^{4} \sqrt{3} {\sqrt[3]{9}}^{2}}{1}$

Schritt 4.2.4

Dividiere $3 y^{4} \sqrt{3} {\sqrt[3]{9}}^{2}$ durch $1$ .

$3 y^{4} \sqrt{3} {\sqrt[3]{9}}^{2}$

Schritt 5

Schreibe ${\sqrt[3]{9}}^{2}$ als $\sqrt[3]{9^{2}}$ um.

$3 y^{4} \sqrt{3} \sqrt[3]{9^{2}}$

Schritt 6

Potenziere $9$ mit $2$ .

$3 y^{4} \sqrt{3} \sqrt[3]{81}$

Schritt 7

Schreibe $81$ als $3^{3} \cdot 3$ um.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $27$ aus $81$ heraus.

$3 y^{4} \sqrt{3} \sqrt[3]{27 (3)}$

Schritt 7.2

Schreibe $27$ als $3^{3}$ um.

$3 y^{4} \sqrt{3} \sqrt[3]{3^{3} \cdot 3}$

Schritt 8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$3 y^{4} \sqrt{3} (3 \sqrt[3]{3})$

Schritt 9

Multipliziere $3 y^{4} \sqrt{3} (3 \sqrt[3]{3})$ .

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$9 y^{4} \sqrt{3} \sqrt[3]{3}$

Schritt 9.2

Forme den Ausdruck um unter Verwendung des kleinsten gemeinsamen Index von $6$ .

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Schritt 9.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{3}$ als $3^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$9 y^{4} (3^{\frac{1}{3}} \sqrt{3})$

Schritt 9.2.2

Schreibe $3^{\frac{1}{3}}$ als $3^{\frac{2}{6}}$ um.

$9 y^{4} (3^{\frac{2}{6}} \sqrt{3})$

Schritt 9.2.3

Schreibe $3^{\frac{2}{6}}$ als $\sqrt[6]{3^{2}}$ um.

$9 y^{4} (\sqrt[6]{3^{2}} \sqrt{3})$

Schritt 9.2.4

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$9 y^{4} (\sqrt[6]{3^{2}} \cdot 3^{\frac{1}{2}})$

Schritt 9.2.5

Schreibe $3^{\frac{1}{2}}$ als $3^{\frac{3}{6}}$ um.

$9 y^{4} (\sqrt[6]{3^{2}} \cdot 3^{\frac{3}{6}})$

Schritt 9.2.6

Schreibe $3^{\frac{3}{6}}$ als $\sqrt[6]{3^{3}}$ um.

$9 y^{4} (\sqrt[6]{3^{2}} \sqrt[6]{3^{3}})$

Schritt 9.3

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$9 y^{4} \sqrt[6]{3^{2} \cdot 3^{3}}$

Schritt 9.4

Multipliziere $3^{2}$ mit $3^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 9.4.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$9 y^{4} \sqrt[6]{3^{2 + 3}}$

Schritt 9.4.2

Addiere $2$ und $3$ .

$9 y^{4} \sqrt[6]{3^{5}}$

Schritt 10

Potenziere $3$ mit $5$ .

$9 y^{4} \sqrt[6]{243}$