Grundlegende Mathematik Beispiele

$(\sqrt{2} + 9 \sqrt{10}) (2 \sqrt{2} - 6 \sqrt{10})$

Schritt 1

Multipliziere $(\sqrt{2} + 9 \sqrt{10}) (2 \sqrt{2} - 6 \sqrt{10})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{2} (2 \sqrt{2} - 6 \sqrt{10}) + 9 \sqrt{10} (2 \sqrt{2} - 6 \sqrt{10})$

Schritt 1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{2} (2 \sqrt{2}) + \sqrt{2} (- 6 \sqrt{10}) + 9 \sqrt{10} (2 \sqrt{2} - 6 \sqrt{10})$

Schritt 1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{2} (2 \sqrt{2}) + \sqrt{2} (- 6 \sqrt{10}) + 9 \sqrt{10} (2 \sqrt{2}) + 9 \sqrt{10} (- 6 \sqrt{10})$

Schritt 2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Multipliziere $\sqrt{2} (2 \sqrt{2})$ .

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Schritt 2.1.1.1

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}) + \sqrt{2} (- 6 \sqrt{10}) + 9 \sqrt{10} (2 \sqrt{2}) + 9 \sqrt{10} (- 6 \sqrt{10})$

Schritt 2.1.1.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}) + \sqrt{2} (- 6 \sqrt{10}) + 9 \sqrt{10} (2 \sqrt{2}) + 9 \sqrt{10} (- 6 \sqrt{10})$

Schritt 2.1.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 {\sqrt{2}}^{1 + 1} + \sqrt{2} (- 6 \sqrt{10}) + 9 \sqrt{10} (2 \sqrt{2}) + 9 \sqrt{10} (- 6 \sqrt{10})$

Schritt 2.1.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$2 {\sqrt{2}}^{2} + \sqrt{2} (- 6 \sqrt{10}) + 9 \sqrt{10} (2 \sqrt{2}) + 9 \sqrt{10} (- 6 \sqrt{10})$

Schritt 2.1.2

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 2.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{2} (- 6 \sqrt{10}) + 9 \sqrt{10} (2 \sqrt{2}) + 9 \sqrt{10} (- 6 \sqrt{10})$

Schritt 2.1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{2} (- 6 \sqrt{10}) + 9 \sqrt{10} (2 \sqrt{2}) + 9 \sqrt{10} (- 6 \sqrt{10})$

Schritt 2.1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + \sqrt{2} (- 6 \sqrt{10}) + 9 \sqrt{10} (2 \sqrt{2}) + 9 \sqrt{10} (- 6 \sqrt{10})$

Schritt 2.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + \sqrt{2} (- 6 \sqrt{10}) + 9 \sqrt{10} (2 \sqrt{2}) + 9 \sqrt{10} (- 6 \sqrt{10})$

Schritt 2.1.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$2 \cdot 2^{1} + \sqrt{2} (- 6 \sqrt{10}) + 9 \sqrt{10} (2 \sqrt{2}) + 9 \sqrt{10} (- 6 \sqrt{10})$

Schritt 2.1.2.5

Berechne den Exponenten.

$2 \cdot 2 + \sqrt{2} (- 6 \sqrt{10}) + 9 \sqrt{10} (2 \sqrt{2}) + 9 \sqrt{10} (- 6 \sqrt{10})$

Schritt 2.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 + \sqrt{2} (- 6 \sqrt{10}) + 9 \sqrt{10} (2 \sqrt{2}) + 9 \sqrt{10} (- 6 \sqrt{10})$

Schritt 2.1.4

Multipliziere $\sqrt{2} (- 6 \sqrt{10})$ .

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Schritt 2.1.4.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$4 - 6 \sqrt{2 \cdot 10} + 9 \sqrt{10} (2 \sqrt{2}) + 9 \sqrt{10} (- 6 \sqrt{10})$

Schritt 2.1.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $10$ .

$4 - 6 \sqrt{20} + 9 \sqrt{10} (2 \sqrt{2}) + 9 \sqrt{10} (- 6 \sqrt{10})$

Schritt 2.1.5

Schreibe $20$ als $2^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 2.1.5.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$4 - 6 \sqrt{4 (5)} + 9 \sqrt{10} (2 \sqrt{2}) + 9 \sqrt{10} (- 6 \sqrt{10})$

Schritt 2.1.5.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$4 - 6 \sqrt{2^{2} \cdot 5} + 9 \sqrt{10} (2 \sqrt{2}) + 9 \sqrt{10} (- 6 \sqrt{10})$

Schritt 2.1.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$4 - 6 (2 \sqrt{5}) + 9 \sqrt{10} (2 \sqrt{2}) + 9 \sqrt{10} (- 6 \sqrt{10})$

Schritt 2.1.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 6$ .

$4 - 12 \sqrt{5} + 9 \sqrt{10} (2 \sqrt{2}) + 9 \sqrt{10} (- 6 \sqrt{10})$

Schritt 2.1.8

Multipliziere $9 \sqrt{10} (2 \sqrt{2})$ .

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Schritt 2.1.8.1

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$4 - 12 \sqrt{5} + 18 \sqrt{10} \sqrt{2} + 9 \sqrt{10} (- 6 \sqrt{10})$

Schritt 2.1.8.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$4 - 12 \sqrt{5} + 18 \sqrt{2 \cdot 10} + 9 \sqrt{10} (- 6 \sqrt{10})$

Schritt 2.1.8.3

Mutltipliziere $2$ mit $10$ .

$4 - 12 \sqrt{5} + 18 \sqrt{20} + 9 \sqrt{10} (- 6 \sqrt{10})$

Schritt 2.1.9

Schreibe $20$ als $2^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 2.1.9.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$4 - 12 \sqrt{5} + 18 \sqrt{4 (5)} + 9 \sqrt{10} (- 6 \sqrt{10})$

Schritt 2.1.9.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$4 - 12 \sqrt{5} + 18 \sqrt{2^{2} \cdot 5} + 9 \sqrt{10} (- 6 \sqrt{10})$

Schritt 2.1.10

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$4 - 12 \sqrt{5} + 18 (2 \sqrt{5}) + 9 \sqrt{10} (- 6 \sqrt{10})$

Schritt 2.1.11

Mutltipliziere $2$ mit $18$ .

$4 - 12 \sqrt{5} + 36 \sqrt{5} + 9 \sqrt{10} (- 6 \sqrt{10})$

Schritt 2.1.12

Multipliziere $9 \sqrt{10} (- 6 \sqrt{10})$ .

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Schritt 2.1.12.1

Mutltipliziere $- 6$ mit $9$ .

$4 - 12 \sqrt{5} + 36 \sqrt{5} - 54 \sqrt{10} \sqrt{10}$

Schritt 2.1.12.2

Potenziere $\sqrt{10}$ mit $1$ .

$4 - 12 \sqrt{5} + 36 \sqrt{5} - 54 ({\sqrt{10}}^{1} \sqrt{10})$

Schritt 2.1.12.3

Potenziere $\sqrt{10}$ mit $1$ .

$4 - 12 \sqrt{5} + 36 \sqrt{5} - 54 ({\sqrt{10}}^{1} {\sqrt{10}}^{1})$

Schritt 2.1.12.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 - 12 \sqrt{5} + 36 \sqrt{5} - 54 {\sqrt{10}}^{1 + 1}$

Schritt 2.1.12.5

Addiere $1$ und $1$ .

$4 - 12 \sqrt{5} + 36 \sqrt{5} - 54 {\sqrt{10}}^{2}$

Schritt 2.1.13

Schreibe ${\sqrt{10}}^{2}$ als $10$ um.

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Schritt 2.1.13.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{10}$ als $10^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$4 - 12 \sqrt{5} + 36 \sqrt{5} - 54 {(10^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 2.1.13.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 - 12 \sqrt{5} + 36 \sqrt{5} - 54 \cdot 10^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 2.1.13.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$4 - 12 \sqrt{5} + 36 \sqrt{5} - 54 \cdot 10^{\frac{2}{2}}$

Schritt 2.1.13.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.13.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 - 12 \sqrt{5} + 36 \sqrt{5} - 54 \cdot 10^{\frac{2}{2}}$

Schritt 2.1.13.4.2

Forme den Ausdruck um.

$4 - 12 \sqrt{5} + 36 \sqrt{5} - 54 \cdot 10^{1}$

Schritt 2.1.13.5

Berechne den Exponenten.

$4 - 12 \sqrt{5} + 36 \sqrt{5} - 54 \cdot 10$

Schritt 2.1.14

Mutltipliziere $- 54$ mit $10$ .

$4 - 12 \sqrt{5} + 36 \sqrt{5} - 540$

Schritt 2.2

Subtrahiere $540$ von $4$ .

$- 536 - 12 \sqrt{5} + 36 \sqrt{5}$

Schritt 2.3

Addiere $- 12 \sqrt{5}$ und $36 \sqrt{5}$ .

$- 536 + 24 \sqrt{5}$

Schritt 3

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- 536 + 24 \sqrt{5}$

Dezimalform:

$- 482.33436854 \dots$