Grundlegende Mathematik Beispiele

$\frac{9 y^{4} + 14 y^{2} - 8}{3 y + 2}$

Schritt 1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1

Schreibe $y^{4}$ als ${(y^{2})}^{2}$ um.

$\frac{9 {(y^{2})}^{2} + 14 y^{2} - 8}{3 y + 2}$

Schritt 1.2

Es sei $u = y^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $y^{2}$ .

$\frac{9 u^{2} + 14 u - 8}{3 y + 2}$

Schritt 1.3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 9 \cdot - 8 = - 72$ und deren Summe gleich $b = 14$ ist.

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Schritt 1.3.1.1

Faktorisiere $14$ aus $14 u$ heraus.

$\frac{9 u^{2} + 14 (u) - 8}{3 y + 2}$

Schritt 1.3.1.2

Schreibe $14$ um als $- 4$ plus $18$

$\frac{9 u^{2} + (- 4 + 18) u - 8}{3 y + 2}$

Schritt 1.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{9 u^{2} - 4 u + 18 u - 8}{3 y + 2}$

Schritt 1.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(9 u^{2} - 4 u) + 18 u - 8}{3 y + 2}$

Schritt 1.3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{u (9 u - 4) + 2 (9 u - 4)}{3 y + 2}$

Schritt 1.3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $9 u - 4$ .

$\frac{(9 u - 4) (u + 2)}{3 y + 2}$

Schritt 1.4

Ersetze alle $u$ durch $y^{2}$ .

$\frac{(9 y^{2} - 4) (y^{2} + 2)}{3 y + 2}$

Schritt 1.5

Schreibe $9 y^{2}$ als ${(3 y)}^{2}$ um.

$\frac{({(3 y)}^{2} - 4) (y^{2} + 2)}{3 y + 2}$

Schritt 1.6

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{({(3 y)}^{2} - 2^{2}) (y^{2} + 2)}{3 y + 2}$

Schritt 1.7

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 3 y$ und $b = 2$ .

$\frac{(3 y + 2) (3 y - 2) (y^{2} + 2)}{3 y + 2}$

Schritt 2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 y + 2$ .

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Schritt 2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(3 y + 2) (3 y - 2) (y^{2} + 2)}{3 y + 2}$

Schritt 2.2

Dividiere $(3 y - 2) (y^{2} + 2)$ durch $1$ .

$(3 y - 2) (y^{2} + 2)$

Schritt 3

Multipliziere $(3 y - 2) (y^{2} + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 y (y^{2} + 2) - 2 (y^{2} + 2)$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$3 y \cdot y^{2} + 3 y \cdot 2 - 2 (y^{2} + 2)$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 y \cdot y^{2} + 3 y \cdot 2 - 2 y^{2} - 2 \cdot 2$

Schritt 4

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Multipliziere $y$ mit $y^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.1.1

Bewege $y^{2}$ .

$3 (y^{2} y) + 3 y \cdot 2 - 2 y^{2} - 2 \cdot 2$

Schritt 4.1.1.2

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $y$ .

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Schritt 4.1.1.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$3 (y^{2} y^{1}) + 3 y \cdot 2 - 2 y^{2} - 2 \cdot 2$

Schritt 4.1.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 y^{2 + 1} + 3 y \cdot 2 - 2 y^{2} - 2 \cdot 2$

Schritt 4.1.1.3

Addiere $2$ und $1$ .

$3 y^{3} + 3 y \cdot 2 - 2 y^{2} - 2 \cdot 2$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$3 y^{3} + 6 y - 2 y^{2} - 2 \cdot 2$

Schritt 4.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$3 y^{3} + 6 y - 2 y^{2} - 4$

Schritt 4.2

Bewege $6 y$ .

$3 y^{3} - 2 y^{2} + 6 y - 4$