Grundlegende Mathematik Beispiele

$\frac{\frac{\frac{p^{2} - 2 p - 3}{2 p^{2} - 5 p - 3}}{p^{2} + p}}{p^{2} + p - 12}$

Schritt 1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{\frac{p^{2} - 2 p - 3}{2 p^{2} - 5 p - 3}}{p^{2} + p} \cdot \frac{1}{p^{2} + p - 12}$

Schritt 2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{p^{2} - 2 p - 3}{2 p^{2} - 5 p - 3} \cdot \frac{1}{p^{2} + p} \frac{1}{p^{2} + p - 12}$

Schritt 3

Faktorisiere $p^{2} - 2 p - 3$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 3$ und deren Summe $- 2$ ist.

$- 3, 1$

Schritt 3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(p - 3) (p + 1)}{2 p^{2} - 5 p - 3} \cdot \frac{1}{p^{2} + p} \frac{1}{p^{2} + p - 12}$

Schritt 4

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ und deren Summe gleich $b = - 5$ ist.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $- 5$ aus $- 5 p$ heraus.

$\frac{(p - 3) (p + 1)}{2 p^{2} - 5 (p) - 3} \cdot \frac{1}{p^{2} + p} \frac{1}{p^{2} + p - 12}$

Schritt 4.1.2

Schreibe $- 5$ um als $1$ plus $- 6$

$\frac{(p - 3) (p + 1)}{2 p^{2} + (1 - 6) p - 3} \cdot \frac{1}{p^{2} + p} \frac{1}{p^{2} + p - 12}$

Schritt 4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(p - 3) (p + 1)}{2 p^{2} + 1 p - 6 p - 3} \cdot \frac{1}{p^{2} + p} \frac{1}{p^{2} + p - 12}$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $p$ mit $1$ .

$\frac{(p - 3) (p + 1)}{2 p^{2} + p - 6 p - 3} \cdot \frac{1}{p^{2} + p} \frac{1}{p^{2} + p - 12}$

Schritt 4.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(p - 3) (p + 1)}{(2 p^{2} + p) - 6 p - 3} \cdot \frac{1}{p^{2} + p} \frac{1}{p^{2} + p - 12}$

Schritt 4.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{(p - 3) (p + 1)}{p (2 p + 1) - 3 (2 p + 1)} \cdot \frac{1}{p^{2} + p} \frac{1}{p^{2} + p - 12}$

Schritt 4.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 p + 1$ .

$\frac{(p - 3) (p + 1)}{(2 p + 1) (p - 3)} \cdot \frac{1}{p^{2} + p} \frac{1}{p^{2} + p - 12}$

Schritt 5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $p - 3$ .

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Schritt 5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(p - 3) (p + 1)}{(2 p + 1) (p - 3)} \cdot \frac{1}{p^{2} + p} \frac{1}{p^{2} + p - 12}$

Schritt 5.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{p + 1}{2 p + 1} \cdot \frac{1}{p^{2} + p} \frac{1}{p^{2} + p - 12}$

Schritt 5.2

Faktorisiere $p$ aus $p^{2} + p$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $p$ aus $p^{2}$ heraus.

$\frac{p + 1}{2 p + 1} \cdot \frac{1}{p \cdot p + p} \frac{1}{p^{2} + p - 12}$

Schritt 5.2.2

Potenziere $p$ mit $1$ .

$\frac{p + 1}{2 p + 1} \cdot \frac{1}{p \cdot p + p^{1}} \frac{1}{p^{2} + p - 12}$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $p$ aus $p^{1}$ heraus.

$\frac{p + 1}{2 p + 1} \cdot \frac{1}{p \cdot p + p \cdot 1} \frac{1}{p^{2} + p - 12}$

Schritt 5.2.4

Faktorisiere $p$ aus $p \cdot p + p \cdot 1$ heraus.

$\frac{p + 1}{2 p + 1} \cdot \frac{1}{p (p + 1)} \frac{1}{p^{2} + p - 12}$

Schritt 5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $p + 1$ .

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $p + 1$ aus $p (p + 1)$ heraus.

$\frac{p + 1}{2 p + 1} \cdot \frac{1}{(p + 1) p} \frac{1}{p^{2} + p - 12}$

Schritt 5.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{p + 1}{2 p + 1} \cdot \frac{1}{(p + 1) p} \frac{1}{p^{2} + p - 12}$

Schritt 5.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2 p + 1} \cdot \frac{1}{p} \frac{1}{p^{2} + p - 12}$

Schritt 5.4

Mutltipliziere $\frac{1}{2 p + 1}$ mit $\frac{1}{p}$ .

$\frac{1}{(2 p + 1) p} \cdot \frac{1}{p^{2} + p - 12}$

Schritt 6

Faktorisiere $p^{2} + p - 12$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 6.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 12$ und deren Summe $1$ ist.

$- 3, 4$

Schritt 6.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{1}{(2 p + 1) p} \cdot \frac{1}{(p - 3) (p + 4)}$

Schritt 7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $\frac{1}{(2 p + 1) p}$ mit $\frac{1}{(p - 3) (p + 4)}$ .

$\frac{1}{(2 p + 1) p ((p - 3) (p + 4))}$

Schritt 7.2

Stelle die Faktoren in $\frac{1}{(2 p + 1) p (p - 3) (p + 4)}$ um.

$\frac{1}{p (2 p + 1) (p - 3) (p + 4)}$