Grundlegende Mathematik Beispiele

$\frac{{(a + b)}^{3} + {(a - b)}^{3}}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Schritt 1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = a + b$ und $b = a - b$ .

$\frac{(a + b + a - b) ({(a + b)}^{2} - (a + b) (a - b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Schritt 1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Addiere $a$ und $a$ .

$\frac{(2 a + b - b) ({(a + b)}^{2} - (a + b) (a - b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Schritt 1.2.2

Subtrahiere $b$ von $b$ .

$\frac{(2 a + 0) ({(a + b)}^{2} - (a + b) (a - b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Schritt 1.2.3

Addiere $2 a$ und $0$ .

$\frac{2 a ({(a + b)}^{2} - (a + b) (a - b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Schritt 1.2.4

Schreibe ${(a + b)}^{2}$ als $(a + b) (a + b)$ um.

$\frac{2 a ((a + b) (a + b) - (a + b) (a - b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Schritt 1.2.5

Multipliziere $(a + b) (a + b)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 a (a (a + b) + b (a + b) - (a + b) (a - b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Schritt 1.2.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 a (a \cdot a + a b + b (a + b) - (a + b) (a - b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Schritt 1.2.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 a (a \cdot a + a b + b a + b \cdot b - (a + b) (a - b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Schritt 1.2.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.2.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.6.1.1

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$\frac{2 a (a^{2} + a b + b a + b \cdot b - (a + b) (a - b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Schritt 1.2.6.1.2

Mutltipliziere $b$ mit $b$ .

$\frac{2 a (a^{2} + a b + b a + b^{2} - (a + b) (a - b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Schritt 1.2.6.2

Addiere $a b$ und $b a$ .

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Schritt 1.2.6.2.1

Stelle $b$ und $a$ um.

$\frac{2 a (a^{2} + a b + a b + b^{2} - (a + b) (a - b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Schritt 1.2.6.2.2

Addiere $a b$ und $a b$ .

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - (a + b) (a - b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Schritt 1.2.7

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} + (- a - b) (a - b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Schritt 1.2.8

Multipliziere $(- a - b) (a - b)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a (a - b) - b (a - b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Schritt 1.2.8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a \cdot a - a (- b) - b (a - b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Schritt 1.2.8.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a \cdot a - a (- b) - b a - b (- b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Schritt 1.2.9

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.2.9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.9.1.1

Multipliziere $a$ mit $a$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.9.1.1.1

Bewege $a$ .

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - (a \cdot a) - a (- b) - b a - b (- b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Schritt 1.2.9.1.1.2

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} - a (- b) - b a - b (- b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Schritt 1.2.9.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} - 1 \cdot - 1 a b - b a - b (- b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Schritt 1.2.9.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + 1 a b - b a - b (- b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Schritt 1.2.9.1.4

Mutltipliziere $a$ mit $1$ .

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + a b - b a - b (- b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Schritt 1.2.9.1.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + a b - b a - 1 \cdot - 1 b \cdot b + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Schritt 1.2.9.1.6

Multipliziere $b$ mit $b$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.9.1.6.1

Bewege $b$ .

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + a b - b a - 1 \cdot - 1 (b \cdot b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Schritt 1.2.9.1.6.2

Mutltipliziere $b$ mit $b$ .

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + a b - b a - 1 \cdot - 1 b^{2} + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Schritt 1.2.9.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + a b - b a + 1 b^{2} + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Schritt 1.2.9.1.8

Mutltipliziere $b^{2}$ mit $1$ .

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + a b - b a + b^{2} + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Schritt 1.2.9.2

Subtrahiere $b a$ von $a b$ .

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Schritt 1.2.9.2.1

Bewege $b$ .

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + a b - 1 a b + b^{2} + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Schritt 1.2.9.2.2

Subtrahiere $a b$ von $a b$ .

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + 0 + b^{2} + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Schritt 1.2.9.3

Addiere $- a^{2}$ und $0$ .

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + b^{2} + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Schritt 1.2.10

Schreibe ${(a - b)}^{2}$ als $(a - b) (a - b)$ um.

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + b^{2} + (a - b) (a - b))}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Schritt 1.2.11

Multipliziere $(a - b) (a - b)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + b^{2} + a (a - b) - b (a - b))}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Schritt 1.2.11.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + b^{2} + a \cdot a + a (- b) - b (a - b))}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Schritt 1.2.11.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + b^{2} + a \cdot a + a (- b) - b a - b (- b))}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Schritt 1.2.12

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.2.12.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.12.1.1

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + b^{2} + a^{2} + a (- b) - b a - b (- b))}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Schritt 1.2.12.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + b^{2} + a^{2} - a b - b a - b (- b))}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Schritt 1.2.12.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + b^{2} + a^{2} - a b - b a - 1 \cdot - 1 b \cdot b)}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Schritt 1.2.12.1.4

Multipliziere $b$ mit $b$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.12.1.4.1

Bewege $b$ .

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + b^{2} + a^{2} - a b - b a - 1 \cdot - 1 (b \cdot b))}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Schritt 1.2.12.1.4.2

Mutltipliziere $b$ mit $b$ .

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + b^{2} + a^{2} - a b - b a - 1 \cdot - 1 b^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Schritt 1.2.12.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + b^{2} + a^{2} - a b - b a + 1 b^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Schritt 1.2.12.1.6

Mutltipliziere $b^{2}$ mit $1$ .

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + b^{2} + a^{2} - a b - b a + b^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Schritt 1.2.12.2

Subtrahiere $b a$ von $- a b$ .

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Schritt 1.2.12.2.1

Bewege $b$ .

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + b^{2} + a^{2} - a b - 1 a b + b^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Schritt 1.2.12.2.2

Subtrahiere $a b$ von $- a b$ .

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + b^{2} + a^{2} - 2 a b + b^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Schritt 1.2.13

Subtrahiere $a^{2}$ von $a^{2}$ .

$\frac{2 a (2 a b + b^{2} + 0 + b^{2} + a^{2} - 2 a b + b^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Schritt 1.2.14

Addiere $2 a b$ und $0$ .

$\frac{2 a (b^{2} + 2 a b + b^{2} + a^{2} - 2 a b + b^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Schritt 1.2.15

Addiere $b^{2}$ und $b^{2}$ .

$\frac{2 a (2 b^{2} + 2 a b + a^{2} - 2 a b + b^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Schritt 1.2.16

Addiere $2 b^{2}$ und $b^{2}$ .

$\frac{2 a (3 b^{2} + 2 a b + a^{2} - 2 a b)}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Schritt 1.2.17

Subtrahiere $2 a b$ von $2 a b$ .

$\frac{2 a (3 b^{2} + a^{2} + 0)}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Schritt 1.2.18

Addiere $3 b^{2} + a^{2}$ und $0$ .

$\frac{2 a (3 b^{2} + a^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Schritt 2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a$ .

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Schritt 2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 a (3 b^{2} + a^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Schritt 2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 (3 b^{2} + a^{2})}{a^{2} + 3 b^{2}}$

Schritt 2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3 b^{2} + a^{2}$ und $a^{2} + 3 b^{2}$ .

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Schritt 2.2.1

Stelle die Terme um.

$\frac{2 (a^{2} + 3 b^{2})}{a^{2} + 3 b^{2}}$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (a^{2} + 3 b^{2})}{a^{2} + 3 b^{2}}$

Schritt 2.2.3

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2$