Grundlegende Mathematik Beispiele

$\frac{a^{2} - 14 a + 49}{a^{2} - a - 42} \div \frac{a^{2} - 49}{7}$

Schritt 1

Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.

$\frac{a^{2} - 14 a + 49}{a^{2} - a - 42} \cdot \frac{7}{a^{2} - 49}$

Schritt 2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 2.1

Schreibe $49$ als $7^{2}$ um.

$\frac{a^{2} - 14 a + 7^{2}}{a^{2} - a - 42} \cdot \frac{7}{a^{2} - 49}$

Schritt 2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$14 a = 2 \cdot a \cdot 7$

Schritt 2.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{a^{2} - 2 \cdot a \cdot 7 + 7^{2}}{a^{2} - a - 42} \cdot \frac{7}{a^{2} - 49}$

Schritt 2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = a$ und $b = 7$ .

$\frac{{(a - 7)}^{2}}{a^{2} - a - 42} \cdot \frac{7}{a^{2} - 49}$

Schritt 3

Faktorisiere $a^{2} - a - 42$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 42$ und deren Summe $- 1$ ist.

$- 7, 6$

Schritt 3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{{(a - 7)}^{2}}{(a - 7) (a + 6)} \cdot \frac{7}{a^{2} - 49}$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(a - 7)}^{2}$ und $a - 7$ .

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Schritt 4.1

Faktorisiere $a - 7$ aus ${(a - 7)}^{2}$ heraus.

$\frac{(a - 7) (a - 7)}{(a - 7) (a + 6)} \cdot \frac{7}{a^{2} - 49}$

Schritt 4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(a - 7) (a - 7)}{(a - 7) (a + 6)} \cdot \frac{7}{a^{2} - 49}$

Schritt 4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{a - 7}{a + 6} \cdot \frac{7}{a^{2} - 49}$

Schritt 5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.1

Schreibe $49$ als $7^{2}$ um.

$\frac{a - 7}{a + 6} \cdot \frac{7}{a^{2} - 7^{2}}$

Schritt 5.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = a$ und $b = 7$ .

$\frac{a - 7}{a + 6} \cdot \frac{7}{(a + 7) (a - 7)}$

Schritt 6

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a - 7$ .

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Schritt 6.1.1

Faktorisiere $a - 7$ aus $(a + 7) (a - 7)$ heraus.

$\frac{a - 7}{a + 6} \cdot \frac{7}{(a - 7) (a + 7)}$

Schritt 6.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{a - 7}{a + 6} \cdot \frac{7}{(a - 7) (a + 7)}$

Schritt 6.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{a + 6} \cdot \frac{7}{a + 7}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $\frac{1}{a + 6}$ mit $\frac{7}{a + 7}$ .

$\frac{7}{(a + 6) (a + 7)}$