Grundlegende Mathematik Beispiele

$\frac{\frac{15}{16 - a} + \frac{16}{a - 16}}{\frac{7}{a} + \frac{9}{a - 16}}$

Schritt 1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $(16 - a) (a - 16) a$ .

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Schritt 1.1

Mutltipliziere $\frac{\frac{15}{16 - a} + \frac{16}{a - 16}}{\frac{7}{a} + \frac{9}{a - 16}}$ mit $\frac{(16 - a) (a - 16) a}{(16 - a) (a - 16) a}$ .

$\frac{(16 - a) (a - 16) a}{(16 - a) (a - 16) a} \cdot \frac{\frac{15}{16 - a} + \frac{16}{a - 16}}{\frac{7}{a} + \frac{9}{a - 16}}$

Schritt 1.2

Kombinieren.

$\frac{(16 - a) (a - 16) a (\frac{15}{16 - a} + \frac{16}{a - 16})}{(16 - a) (a - 16) a (\frac{7}{a} + \frac{9}{a - 16})}$

Schritt 2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(16 - a) (a - 16) a \frac{15}{16 - a} + (16 - a) (a - 16) a \frac{16}{a - 16}}{(16 - a) (a - 16) a \frac{7}{a} + (16 - a) (a - 16) a \frac{9}{a - 16}}$

Schritt 3

Vereinfache durch Kürzen.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $16 - a$ .

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $16 - a$ aus $(16 - a) (a - 16) a$ heraus.

$\frac{(16 - a) ((a - 16) a) \frac{15}{16 - a} + (16 - a) (a - 16) a \frac{16}{a - 16}}{(16 - a) (a - 16) a \frac{7}{a} + (16 - a) (a - 16) a \frac{9}{a - 16}}$

Schritt 3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(16 - a) ((a - 16) a) \frac{15}{16 - a} + (16 - a) (a - 16) a \frac{16}{a - 16}}{(16 - a) (a - 16) a \frac{7}{a} + (16 - a) (a - 16) a \frac{9}{a - 16}}$

Schritt 3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(a - 16) a \cdot 15 + (16 - a) (a - 16) a \frac{16}{a - 16}}{(16 - a) (a - 16) a \frac{7}{a} + (16 - a) (a - 16) a \frac{9}{a - 16}}$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a - 16$ .

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $a - 16$ aus $(16 - a) (a - 16) a$ heraus.

$\frac{(a - 16) a \cdot 15 + (a - 16) ((16 - a) a) \frac{16}{a - 16}}{(16 - a) (a - 16) a \frac{7}{a} + (16 - a) (a - 16) a \frac{9}{a - 16}}$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(a - 16) a \cdot 15 + (a - 16) ((16 - a) a) \frac{16}{a - 16}}{(16 - a) (a - 16) a \frac{7}{a} + (16 - a) (a - 16) a \frac{9}{a - 16}}$

Schritt 3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(a - 16) a \cdot 15 + (16 - a) a \cdot 16}{(16 - a) (a - 16) a \frac{7}{a} + (16 - a) (a - 16) a \frac{9}{a - 16}}$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a$ .

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $a$ aus $(16 - a) (a - 16) a$ heraus.

$\frac{(a - 16) a \cdot 15 + (16 - a) a \cdot 16}{a ((16 - a) (a - 16)) \frac{7}{a} + (16 - a) (a - 16) a \frac{9}{a - 16}}$

Schritt 3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(a - 16) a \cdot 15 + (16 - a) a \cdot 16}{a ((16 - a) (a - 16)) \frac{7}{a} + (16 - a) (a - 16) a \frac{9}{a - 16}}$

Schritt 3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(a - 16) a \cdot 15 + (16 - a) a \cdot 16}{(16 - a) (a - 16) \cdot 7 + (16 - a) (a - 16) a \frac{9}{a - 16}}$

Schritt 3.4

Schreibe $16$ als $- 1 (- 16)$ um.

$\frac{(a - 16) a \cdot 15 + (16 - a) a \cdot 16}{(- 1 (- 16) - a) (a - 16) \cdot 7 + (16 - a) (a - 16) a \frac{9}{a - 16}}$

Schritt 3.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- a$ heraus.

$\frac{(a - 16) a \cdot 15 + (16 - a) a \cdot 16}{(- 1 (- 16) - (a)) (a - 16) \cdot 7 + (16 - a) (a - 16) a \frac{9}{a - 16}}$

Schritt 3.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- 16) - (a)$ heraus.

$\frac{(a - 16) a \cdot 15 + (16 - a) a \cdot 16}{- 1 (- 16 + a) (a - 16) \cdot 7 + (16 - a) (a - 16) a \frac{9}{a - 16}}$

Schritt 3.7

Stelle die Terme um.

$\frac{(a - 16) a \cdot 15 + (16 - a) a \cdot 16}{- 1 (a - 16) (a - 16) \cdot 7 + (16 - a) (a - 16) a \frac{9}{a - 16}}$

Schritt 3.8

Potenziere $a - 16$ mit $1$ .

$\frac{(a - 16) a \cdot 15 + (16 - a) a \cdot 16}{- 1 ({(a - 16)}^{1} (a - 16)) \cdot 7 + (16 - a) (a - 16) a \frac{9}{a - 16}}$

Schritt 3.9

Potenziere $a - 16$ mit $1$ .

$\frac{(a - 16) a \cdot 15 + (16 - a) a \cdot 16}{- 1 ({(a - 16)}^{1} {(a - 16)}^{1}) \cdot 7 + (16 - a) (a - 16) a \frac{9}{a - 16}}$

Schritt 3.10

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{(a - 16) a \cdot 15 + (16 - a) a \cdot 16}{- 1 {(a - 16)}^{1 + 1} \cdot 7 + (16 - a) (a - 16) a \frac{9}{a - 16}}$

Schritt 3.11

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{(a - 16) a \cdot 15 + (16 - a) a \cdot 16}{- 1 {(a - 16)}^{2} \cdot 7 + (16 - a) (a - 16) a \frac{9}{a - 16}}$

Schritt 3.12

Mutltipliziere $7$ mit $- 1$ .

$\frac{(a - 16) a \cdot 15 + (16 - a) a \cdot 16}{- 7 {(a - 16)}^{2} + (16 - a) (a - 16) a \frac{9}{a - 16}}$

Schritt 3.13

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a - 16$ .

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Schritt 3.13.1

Faktorisiere $a - 16$ aus $(16 - a) (a - 16) a$ heraus.

$\frac{(a - 16) a \cdot 15 + (16 - a) a \cdot 16}{- 7 {(a - 16)}^{2} + (a - 16) ((16 - a) a) \frac{9}{a - 16}}$

Schritt 3.13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(a - 16) a \cdot 15 + (16 - a) a \cdot 16}{- 7 {(a - 16)}^{2} + (a - 16) ((16 - a) a) \frac{9}{a - 16}}$

Schritt 3.13.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(a - 16) a \cdot 15 + (16 - a) a \cdot 16}{- 7 {(a - 16)}^{2} + (16 - a) a \cdot 9}$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $a$ aus $(a - 16) a \cdot 15 + (16 - a) a \cdot 16$ heraus.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $a$ aus $(a - 16) a \cdot 15$ heraus.

$\frac{a ((a - 16) \cdot 15) + (16 - a) a \cdot 16}{- 7 {(a - 16)}^{2} + (16 - a) a \cdot 9}$

Schritt 4.1.2

Faktorisiere $a$ aus $(16 - a) a \cdot 16$ heraus.

$\frac{a ((a - 16) \cdot 15) + a ((16 - a) \cdot 16)}{- 7 {(a - 16)}^{2} + (16 - a) a \cdot 9}$

Schritt 4.1.3

Faktorisiere $a$ aus $a ((a - 16) \cdot 15) + a ((16 - a) \cdot 16)$ heraus.

$\frac{a ((a - 16) \cdot 15 + (16 - a) \cdot 16)}{- 7 {(a - 16)}^{2} + (16 - a) a \cdot 9}$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{a (a \cdot 15 - 16 \cdot 15 + (16 - a) \cdot 16)}{- 7 {(a - 16)}^{2} + (16 - a) a \cdot 9}$

Schritt 4.3

Bringe $15$ auf die linke Seite von $a$ .

$\frac{a (15 \cdot a - 16 \cdot 15 + (16 - a) \cdot 16)}{- 7 {(a - 16)}^{2} + (16 - a) a \cdot 9}$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $- 16$ mit $15$ .

$\frac{a (15 \cdot a - 240 + (16 - a) \cdot 16)}{- 7 {(a - 16)}^{2} + (16 - a) a \cdot 9}$

Schritt 4.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{a (15 a - 240 + 16 \cdot 16 - a \cdot 16)}{- 7 {(a - 16)}^{2} + (16 - a) a \cdot 9}$

Schritt 4.6

Mutltipliziere $16$ mit $16$ .

$\frac{a (15 a - 240 + 256 - a \cdot 16)}{- 7 {(a - 16)}^{2} + (16 - a) a \cdot 9}$

Schritt 4.7

Mutltipliziere $16$ mit $- 1$ .

$\frac{a (15 a - 240 + 256 - 16 a)}{- 7 {(a - 16)}^{2} + (16 - a) a \cdot 9}$

Schritt 4.8

Subtrahiere $16 a$ von $15 a$ .

$\frac{a (- a - 240 + 256)}{- 7 {(a - 16)}^{2} + (16 - a) a \cdot 9}$

Schritt 4.9

Addiere $- 240$ und $256$ .

$\frac{a (- a + 16)}{- 7 {(a - 16)}^{2} + (16 - a) a \cdot 9}$

Schritt 5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.1

Schreibe ${(a - 16)}^{2}$ als $(a - 16) (a - 16)$ um.

$\frac{a (- a + 16)}{- 7 ((a - 16) (a - 16)) + (16 - a) a \cdot 9}$

Schritt 5.2

Multipliziere $(a - 16) (a - 16)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{a (- a + 16)}{- 7 (a (a - 16) - 16 (a - 16)) + (16 - a) a \cdot 9}$

Schritt 5.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{a (- a + 16)}{- 7 (a \cdot a + a \cdot - 16 - 16 (a - 16)) + (16 - a) a \cdot 9}$

Schritt 5.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{a (- a + 16)}{- 7 (a \cdot a + a \cdot - 16 - 16 a - 16 \cdot - 16) + (16 - a) a \cdot 9}$

Schritt 5.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.1.1

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$\frac{a (- a + 16)}{- 7 (a^{2} + a \cdot - 16 - 16 a - 16 \cdot - 16) + (16 - a) a \cdot 9}$

Schritt 5.3.1.2

Bringe $- 16$ auf die linke Seite von $a$ .

$\frac{a (- a + 16)}{- 7 (a^{2} - 16 \cdot a - 16 a - 16 \cdot - 16) + (16 - a) a \cdot 9}$

Schritt 5.3.1.3

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 16$ .

$\frac{a (- a + 16)}{- 7 (a^{2} - 16 a - 16 a + 256) + (16 - a) a \cdot 9}$

Schritt 5.3.2

Subtrahiere $16 a$ von $- 16 a$ .

$\frac{a (- a + 16)}{- 7 (a^{2} - 32 a + 256) + (16 - a) a \cdot 9}$

Schritt 5.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{a (- a + 16)}{- 7 a^{2} - 7 (- 32 a) - 7 \cdot 256 + (16 - a) a \cdot 9}$

Schritt 5.5

Vereinfache.

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Schritt 5.5.1

Mutltipliziere $- 32$ mit $- 7$ .

$\frac{a (- a + 16)}{- 7 a^{2} + 224 a - 7 \cdot 256 + (16 - a) a \cdot 9}$

Schritt 5.5.2

Mutltipliziere $- 7$ mit $256$ .

$\frac{a (- a + 16)}{- 7 a^{2} + 224 a - 1792 + (16 - a) a \cdot 9}$

Schritt 5.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{a (- a + 16)}{- 7 a^{2} + 224 a - 1792 + (16 a - a \cdot a) \cdot 9}$

Schritt 5.7

Multipliziere $a$ mit $a$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.7.1

Bewege $a$ .

$\frac{a (- a + 16)}{- 7 a^{2} + 224 a - 1792 + (16 a - (a \cdot a)) \cdot 9}$

Schritt 5.7.2

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$\frac{a (- a + 16)}{- 7 a^{2} + 224 a - 1792 + (16 a - a^{2}) \cdot 9}$

Schritt 5.8

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{a (- a + 16)}{- 7 a^{2} + 224 a - 1792 + 16 a \cdot 9 - a^{2} \cdot 9}$

Schritt 5.9

Mutltipliziere $9$ mit $16$ .

$\frac{a (- a + 16)}{- 7 a^{2} + 224 a - 1792 + 144 a - a^{2} \cdot 9}$

Schritt 5.10

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$\frac{a (- a + 16)}{- 7 a^{2} + 224 a - 1792 + 144 a - 9 a^{2}}$

Schritt 5.11

Subtrahiere $9 a^{2}$ von $- 7 a^{2}$ .

$\frac{a (- a + 16)}{- 16 a^{2} + 224 a - 1792 + 144 a}$

Schritt 5.12

Addiere $224 a$ und $144 a$ .

$\frac{a (- a + 16)}{- 16 a^{2} + 368 a - 1792}$

Schritt 5.13

Schreibe $- 16 a^{2} + 368 a - 1792$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.13.1

Faktorisiere $16$ aus $- 16 a^{2} + 368 a - 1792$ heraus.

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Schritt 5.13.1.1

Faktorisiere $16$ aus $- 16 a^{2}$ heraus.

$\frac{a (- a + 16)}{16 (- a^{2}) + 368 a - 1792}$

Schritt 5.13.1.2

Faktorisiere $16$ aus $368 a$ heraus.

$\frac{a (- a + 16)}{16 (- a^{2}) + 16 (23 a) - 1792}$

Schritt 5.13.1.3

Faktorisiere $16$ aus $- 1792$ heraus.

$\frac{a (- a + 16)}{16 (- a^{2}) + 16 (23 a) + 16 (- 112)}$

Schritt 5.13.1.4

Faktorisiere $16$ aus $16 (- a^{2}) + 16 (23 a)$ heraus.

$\frac{a (- a + 16)}{16 (- a^{2} + 23 a) + 16 (- 112)}$

Schritt 5.13.1.5

Faktorisiere $16$ aus $16 (- a^{2} + 23 a) + 16 (- 112)$ heraus.

$\frac{a (- a + 16)}{16 (- a^{2} + 23 a - 112)}$

Schritt 5.13.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 5.13.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot - 112 = 112$ und deren Summe gleich $b = 23$ ist.

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Schritt 5.13.2.1.1

Faktorisiere $23$ aus $23 a$ heraus.

$\frac{a (- a + 16)}{16 (- a^{2} + 23 (a) - 112)}$

Schritt 5.13.2.1.2

Schreibe $23$ um als $7$ plus $16$

$\frac{a (- a + 16)}{16 (- a^{2} + (7 + 16) a - 112)}$

Schritt 5.13.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{a (- a + 16)}{16 (- a^{2} + 7 a + 16 a - 112)}$

Schritt 5.13.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 5.13.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{a (- a + 16)}{16 ((- a^{2} + 7 a) + 16 a - 112)}$

Schritt 5.13.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{a (- a + 16)}{16 (a (- a + 7) - 16 (- a + 7))}$

Schritt 5.13.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- a + 7$ .

$\frac{a (- a + 16)}{16 ((- a + 7) (a - 16))}$

$\frac{a (- a + 16)}{16 (- a + 7) (a - 16)}$

Schritt 6

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- a + 16$ und $a - 16$ .

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Schritt 6.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- a$ heraus.

$\frac{a (- (a) + 16)}{16 (- a + 7) (a - 16)}$

Schritt 6.1.2

Schreibe $16$ als $- 1 (- 16)$ um.

$\frac{a (- (a) - 1 (- 16))}{16 (- a + 7) (a - 16)}$

Schritt 6.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (a) - 1 (- 16)$ heraus.

$\frac{a (- (a - 16))}{16 (- a + 7) (a - 16)}$

Schritt 6.1.4

Schreibe $- (a - 16)$ als $- 1 (a - 16)$ um.

$\frac{a (- 1 (a - 16))}{16 (- a + 7) (a - 16)}$

Schritt 6.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{a (- 1 (a - 16))}{16 (- a + 7) (a - 16)}$

Schritt 6.1.6

Forme den Ausdruck um.

$\frac{a \cdot (- 1)}{16 (- a + 7)}$

Schritt 6.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.2.1

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $a$ .

$\frac{- 1 \cdot a}{16 (- a + 7)}$

Schritt 6.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{a}{16 (- a + 7)}$

Schritt 6.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- a$ heraus.

$- \frac{a}{16 (- (a) + 7)}$

Schritt 6.4

Schreibe $7$ als $- 1 (- 7)$ um.

$- \frac{a}{16 (- (a) - 1 (- 7))}$

Schritt 6.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (a) - 1 (- 7)$ heraus.

$- \frac{a}{16 (- (a - 7))}$

Schritt 6.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.6.1

Schreibe $- (a - 7)$ als $- 1 (a - 7)$ um.

$- \frac{a}{16 (- 1 (a - 7))}$

Schritt 6.6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- - \frac{a}{16 (a - 7)}$

Schritt 6.6.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{a}{16 (a - 7)}$

Schritt 6.6.4

Mutltipliziere $\frac{a}{16 (a - 7)}$ mit $1$ .

$\frac{a}{16 (a - 7)}$