Grundlegende Mathematik Beispiele

$\frac{\frac{1}{z} - \frac{1}{y}}{\frac{1}{z^{3}} - \frac{1}{y^{3}}}$

Schritt 1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $y^{3} z^{3}$ .

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Schritt 1.1

Mutltipliziere $\frac{\frac{1}{z} - \frac{1}{y}}{\frac{1}{z^{3}} - \frac{1}{y^{3}}}$ mit $\frac{y^{3} z^{3}}{y^{3} z^{3}}$ .

$\frac{y^{3} z^{3}}{y^{3} z^{3}} \cdot \frac{\frac{1}{z} - \frac{1}{y}}{\frac{1}{z^{3}} - \frac{1}{y^{3}}}$

Schritt 1.2

Kombinieren.

$\frac{y^{3} z^{3} (\frac{1}{z} - \frac{1}{y})}{y^{3} z^{3} (\frac{1}{z^{3}} - \frac{1}{y^{3}})}$

Schritt 2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{y^{3} z^{3} \frac{1}{z} + y^{3} z^{3} (- \frac{1}{y})}{y^{3} z^{3} \frac{1}{z^{3}} + y^{3} z^{3} (- \frac{1}{y^{3}})}$

Schritt 3

Vereinfache durch Kürzen.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $z$ .

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $z$ aus $y^{3} z^{3}$ heraus.

$\frac{z (y^{3} z^{2}) \frac{1}{z} + y^{3} z^{3} (- \frac{1}{y})}{y^{3} z^{3} \frac{1}{z^{3}} + y^{3} z^{3} (- \frac{1}{y^{3}})}$

Schritt 3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{z (y^{3} z^{2}) \frac{1}{z} + y^{3} z^{3} (- \frac{1}{y})}{y^{3} z^{3} \frac{1}{z^{3}} + y^{3} z^{3} (- \frac{1}{y^{3}})}$

Schritt 3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y^{3} z^{2} + y^{3} z^{3} (- \frac{1}{y})}{y^{3} z^{3} \frac{1}{z^{3}} + y^{3} z^{3} (- \frac{1}{y^{3}})}$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{y}$ in den Zähler.

$\frac{y^{3} z^{2} + y^{3} z^{3} \frac{- 1}{y}}{y^{3} z^{3} \frac{1}{z^{3}} + y^{3} z^{3} (- \frac{1}{y^{3}})}$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere $y$ aus $y^{3} z^{3}$ heraus.

$\frac{y^{3} z^{2} + y (y^{2} z^{3}) \frac{- 1}{y}}{y^{3} z^{3} \frac{1}{z^{3}} + y^{3} z^{3} (- \frac{1}{y^{3}})}$

Schritt 3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{3} z^{2} + y (y^{2} z^{3}) \frac{- 1}{y}}{y^{3} z^{3} \frac{1}{z^{3}} + y^{3} z^{3} (- \frac{1}{y^{3}})}$

Schritt 3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y^{3} z^{2} + y^{2} z^{3} \cdot - 1}{y^{3} z^{3} \frac{1}{z^{3}} + y^{3} z^{3} (- \frac{1}{y^{3}})}$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $z^{3}$ .

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $z^{3}$ aus $y^{3} z^{3}$ heraus.

$\frac{y^{3} z^{2} + y^{2} z^{3} \cdot - 1}{z^{3} y^{3} \frac{1}{z^{3}} + y^{3} z^{3} (- \frac{1}{y^{3}})}$

Schritt 3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{3} z^{2} + y^{2} z^{3} \cdot - 1}{z^{3} y^{3} \frac{1}{z^{3}} + y^{3} z^{3} (- \frac{1}{y^{3}})}$

Schritt 3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y^{3} z^{2} + y^{2} z^{3} \cdot - 1}{y^{3} + y^{3} z^{3} (- \frac{1}{y^{3}})}$

Schritt 3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{3}$ .

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Schritt 3.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{y^{3}}$ in den Zähler.

$\frac{y^{3} z^{2} + y^{2} z^{3} \cdot - 1}{y^{3} + y^{3} z^{3} \frac{- 1}{y^{3}}}$

Schritt 3.4.2

Faktorisiere $y^{3}$ aus $y^{3} z^{3}$ heraus.

$\frac{y^{3} z^{2} + y^{2} z^{3} \cdot - 1}{y^{3} + y^{3} (z^{3}) \frac{- 1}{y^{3}}}$

Schritt 3.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{3} z^{2} + y^{2} z^{3} \cdot - 1}{y^{3} + y^{3} z^{3} \frac{- 1}{y^{3}}}$

Schritt 3.4.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y^{3} z^{2} + y^{2} z^{3} \cdot - 1}{y^{3} + z^{3} \cdot - 1}$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $y^{2} z^{2}$ aus $y^{3} z^{2} + y^{2} z^{3} \cdot - 1$ heraus.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $y^{2} z^{2}$ aus $y^{3} z^{2}$ heraus.

$\frac{y^{2} z^{2} (y) + y^{2} z^{3} \cdot - 1}{y^{3} + z^{3} \cdot - 1}$

Schritt 4.1.2

Faktorisiere $y^{2} z^{2}$ aus $y^{2} z^{3} \cdot - 1$ heraus.

$\frac{y^{2} z^{2} (y) + y^{2} z^{2} (z \cdot - 1)}{y^{3} + z^{3} \cdot - 1}$

Schritt 4.1.3

Faktorisiere $y^{2} z^{2}$ aus $y^{2} z^{2} (y) + y^{2} z^{2} (z \cdot - 1)$ heraus.

$\frac{y^{2} z^{2} (y + z \cdot - 1)}{y^{3} + z^{3} \cdot - 1}$

Schritt 4.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $z$ .

$\frac{y^{2} z^{2} (y - 1 \cdot z)}{y^{3} + z^{3} \cdot - 1}$

Schritt 4.3

Schreibe $- 1 z$ als $- z$ um.

$\frac{y^{2} z^{2} (y - z)}{y^{3} + z^{3} \cdot - 1}$

Schritt 5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.1

Schreibe $z^{3} \cdot - 1$ als ${(z \cdot - 1)}^{3}$ um.

$\frac{y^{2} z^{2} (y - z)}{y^{3} + {(z \cdot - 1)}^{3}}$

Schritt 5.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = y$ und $b = z \cdot - 1$ .

$\frac{y^{2} z^{2} (y - z)}{(y + z \cdot - 1) (y^{2} - y (z \cdot - 1) + {(z \cdot - 1)}^{2})}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $z$ .

$\frac{y^{2} z^{2} (y - z)}{(y - 1 \cdot z) (y^{2} - y (z \cdot - 1) + {(z \cdot - 1)}^{2})}$

Schritt 5.3.2

Schreibe $- 1 z$ als $- z$ um.

$\frac{y^{2} z^{2} (y - z)}{(y - z) (y^{2} - y (z \cdot - 1) + {(z \cdot - 1)}^{2})}$

Schritt 5.3.3

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $z$ .

$\frac{y^{2} z^{2} (y - z)}{(y - z) (y^{2} - y (- 1 \cdot z) + {(z \cdot - 1)}^{2})}$

Schritt 5.3.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{y^{2} z^{2} (y - z)}{(y - z) (y^{2} - 1 \cdot - 1 y z + {(z \cdot - 1)}^{2})}$

Schritt 5.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{y^{2} z^{2} (y - z)}{(y - z) (y^{2} + 1 y z + {(z \cdot - 1)}^{2})}$

Schritt 5.3.6

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$\frac{y^{2} z^{2} (y - z)}{(y - z) (y^{2} + y z + {(z \cdot - 1)}^{2})}$

Schritt 5.3.7

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $z$ .

$\frac{y^{2} z^{2} (y - z)}{(y - z) (y^{2} + y z + {(- 1 \cdot z)}^{2})}$

Schritt 5.3.8

Schreibe $- 1 z$ als $- z$ um.

$\frac{y^{2} z^{2} (y - z)}{(y - z) (y^{2} + y z + {(- z)}^{2})}$

Schritt 5.3.9

Wende die Produktregel auf $- z$ an.

$\frac{y^{2} z^{2} (y - z)}{(y - z) (y^{2} + y z + {(- 1)}^{2} z^{2})}$

Schritt 5.3.10

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{y^{2} z^{2} (y - z)}{(y - z) (y^{2} + y z + 1 z^{2})}$

Schritt 5.3.11

Mutltipliziere $z^{2}$ mit $1$ .

$\frac{y^{2} z^{2} (y - z)}{(y - z) (y^{2} + y z + z^{2})}$

Schritt 6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y - z$ .

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{2} z^{2} (y - z)}{(y - z) (y^{2} + y z + z^{2})}$

Schritt 6.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y^{2} z^{2}}{y^{2} + y z + z^{2}}$