Grundlegende Mathematik Beispiele

$\frac{m^{3} - m n^{2}}{m n^{2} + m^{2} n - 2 m^{3}}$

Schritt 1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $m$ aus $m^{3} - m n^{2}$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $m$ aus $m^{3}$ heraus.

$\frac{m \cdot m^{2} - m n^{2}}{m n^{2} + m^{2} n - 2 m^{3}}$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $m$ aus $- m n^{2}$ heraus.

$\frac{m \cdot m^{2} + m (- 1 n^{2})}{m n^{2} + m^{2} n - 2 m^{3}}$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $m$ aus $m \cdot m^{2} + m (- 1 n^{2})$ heraus.

$\frac{m (m^{2} - 1 n^{2})}{m n^{2} + m^{2} n - 2 m^{3}}$

Schritt 1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = m$ und $b = n$ .

$\frac{m (m + n) (m - n)}{m n^{2} + m^{2} n - 2 m^{3}}$

Schritt 2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $m$ aus $m n^{2} + m^{2} n - 2 m^{3}$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $m$ aus $m n^{2}$ heraus.

$\frac{m (m + n) (m - n)}{m (n^{2}) + m^{2} n - 2 m^{3}}$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $m$ aus $m^{2} n$ heraus.

$\frac{m (m + n) (m - n)}{m (n^{2}) + m (m n) - 2 m^{3}}$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $m$ aus $- 2 m^{3}$ heraus.

$\frac{m (m + n) (m - n)}{m (n^{2}) + m (m n) + m (- 2 m^{2})}$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere $m$ aus $m (n^{2}) + m (m n)$ heraus.

$\frac{m (m + n) (m - n)}{m (n^{2} + m n) + m (- 2 m^{2})}$

Schritt 2.1.5

Faktorisiere $m$ aus $m (n^{2} + m n) + m (- 2 m^{2})$ heraus.

$\frac{m (m + n) (m - n)}{m (n^{2} + m n - 2 m^{2})}$

Schritt 2.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 2 \cdot 1 = - 2$ und deren Summe gleich $b = 1$ ist.

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Schritt 2.2.1.1

Stelle die Terme um.

$\frac{m (m + n) (m - n)}{m (- 2 m^{2} + n^{2} + m n)}$

Schritt 2.2.1.2

Stelle $n^{2}$ und $m n$ um.

$\frac{m (m + n) (m - n)}{m (- 2 m^{2} + m n + n^{2})}$

Schritt 2.2.1.3

Faktorisiere $1$ aus $m n$ heraus.

$\frac{m (m + n) (m - n)}{m (- 2 m^{2} + 1 (m n) + n^{2})}$

Schritt 2.2.1.4

Schreibe $1$ um als $- 1$ plus $2$

$\frac{m (m + n) (m - n)}{m (- 2 m^{2} + (- 1 + 2) (m n) + n^{2})}$

Schritt 2.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{m (m + n) (m - n)}{m (- 2 m^{2} - 1 (m n) + 2 (m n) + n^{2})}$

Schritt 2.2.1.6

Versetze die Klammern.

$\frac{m (m + n) (m - n)}{m (- 2 m^{2} - 1 m n + 2 m n + n^{2})}$

Schritt 2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{m (m + n) (m - n)}{m ((- 2 m^{2} - 1 m n) + 2 m n + n^{2})}$

Schritt 2.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{m (m + n) (m - n)}{m (m (- 2 m - 1 n) - n (- 2 m - n))}$

Schritt 2.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- 2 m - 1 n$ .

$\frac{m (m + n) (m - n)}{m ((- 2 m - 1 n) (m - n))}$

Schritt 2.3

Schreibe $- 1 n$ als $- n$ um.

$\frac{m (m + n) (m - n)}{m (- 2 m - n) (m - n)}$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $m$ .

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Schritt 3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{m (m + n) (m - n)}{m (- 2 m - n) (m - n)}$

Schritt 3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(m + n) (m - n)}{(- 2 m - n) (m - n)}$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $m - n$ .

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(m + n) (m - n)}{(- 2 m - n) (m - n)}$

Schritt 3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{m + n}{- 2 m - n}$

Schritt 3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 m$ heraus.

$\frac{m + n}{- (2 m) - n}$

Schritt 3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- n$ heraus.

$\frac{m + n}{- (2 m) - (n)}$

Schritt 3.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 m) - (n)$ heraus.

$\frac{m + n}{- (2 m + n)}$

Schritt 3.6

Stelle die Minuszeichen um.

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Schritt 3.6.1

Schreibe $- (2 m + n)$ als $- 1 (2 m + n)$ um.

$\frac{m + n}{- 1 (2 m + n)}$

Schritt 3.6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{m + n}{2 m + n}$