Grundlegende Mathematik Beispiele

$5 x^{2} (4 + x)$

Schritt 1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{2} (4 + x)$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{2} (4 + x)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2} (4 + x)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = 4 + x$ .

$5 (x^{2} \frac{d}{d x} [4 + x] + (4 + x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (x^{2} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x]) + (4 + x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$5 (x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [x]) + (4 + x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (x^{2} \frac{d}{d x} [x] + (4 + x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 (x^{2} \cdot 1 + (4 + x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$5 (x^{2} + (4 + x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$5 (x^{2} + (4 + x) (2 x))$

Schritt 3.7

Bringe $2$ auf die linke Seite von $4 + x$ .

$5 (x^{2} + 2 \cdot (4 + x) x)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5 (x^{2} + (2 \cdot 4 + 2 x) x)$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$5 (x^{2} + 2 \cdot 4 x + 2 x \cdot x)$

Schritt 4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$5 x^{2} + 5 (2 \cdot 4 x) + 5 (2 x \cdot x)$

Schritt 4.4

Vereine die Terme

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Schritt 4.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$5 x^{2} + 5 (8 x) + 5 (2 x \cdot x)$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere $8$ mit $5$ .

$5 x^{2} + 40 x + 5 (2 x \cdot x)$

Schritt 4.4.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$5 x^{2} + 40 x + 5 (2 (x^{1} x))$

Schritt 4.4.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$5 x^{2} + 40 x + 5 (2 (x^{1} x^{1}))$

Schritt 4.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$5 x^{2} + 40 x + 5 (2 x^{1 + 1})$

Schritt 4.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$5 x^{2} + 40 x + 5 (2 x^{2})$

Schritt 4.4.7

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$5 x^{2} + 40 x + 10 x^{2}$

Schritt 4.4.8

Addiere $5 x^{2}$ und $10 x^{2}$ .

$15 x^{2} + 40 x$