Grundlegende Mathematik Beispiele

$\sqrt{y^{5} - y^{2}} + \sqrt{81 y^{3} - 81}$

Schritt 1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $y^{5} - y^{2}$ heraus.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $y^{5}$ heraus.

$\sqrt{y^{2} y^{3} - y^{2}} + \sqrt{81 y^{3} - 81}$

Schritt 1.2

Faktorisiere $y^{2}$ aus $- y^{2}$ heraus.

$\sqrt{y^{2} y^{3} + y^{2} \cdot - 1} + \sqrt{81 y^{3} - 81}$

Schritt 1.3

Faktorisiere $y^{2}$ aus $y^{2} y^{3} + y^{2} \cdot - 1$ heraus.

$\sqrt{y^{2} (y^{3} - 1)} + \sqrt{81 y^{3} - 81}$

Schritt 2

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$\sqrt{y^{2} (y^{3} - 1^{3})} + \sqrt{81 y^{3} - 81}$

Schritt 3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = y$ und $b = 1$ .

$\sqrt{y^{2} ((y - 1) (y^{2} + y \cdot 1 + 1^{2}))} + \sqrt{81 y^{3} - 81}$

Schritt 4

Faktorisiere.

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Schritt 4.1

Vereinfache.

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Schritt 4.1.1

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$\sqrt{y^{2} ((y - 1) (y^{2} + y + 1^{2}))} + \sqrt{81 y^{3} - 81}$

Schritt 4.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\sqrt{y^{2} ((y - 1) (y^{2} + y + 1))} + \sqrt{81 y^{3} - 81}$

Schritt 4.2

Entferne unnötige Klammern.

$\sqrt{y^{2} (y - 1) (y^{2} + y + 1)} + \sqrt{81 y^{3} - 81}$

Schritt 5

Schreibe $y^{2} (y - 1) (y^{2} + y + 1)$ als $y^{2} ((y - 1) (y^{2} + y + 1^{2}))$ um.

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Schritt 5.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\sqrt{y^{2} (y - 1) (y^{2} + y + 1^{2})} + \sqrt{81 y^{3} - 81}$

Schritt 5.2

Füge Klammern hinzu.

$\sqrt{y^{2} ((y - 1) (y^{2} + y + 1^{2}))} + \sqrt{81 y^{3} - 81}$

Schritt 6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y \sqrt{(y - 1) (y^{2} + y + 1^{2})} + \sqrt{81 y^{3} - 81}$

Schritt 7

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y \sqrt{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} + \sqrt{81 y^{3} - 81}$

Schritt 8

Faktorisiere $81$ aus $81 y^{3} - 81$ heraus.

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Schritt 8.1

Faktorisiere $81$ aus $81 y^{3}$ heraus.

$y \sqrt{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} + \sqrt{81 (y^{3}) - 81}$

Schritt 8.2

Faktorisiere $81$ aus $- 81$ heraus.

$y \sqrt{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} + \sqrt{81 (y^{3}) + 81 (- 1)}$

Schritt 8.3

Faktorisiere $81$ aus $81 (y^{3}) + 81 (- 1)$ heraus.

$y \sqrt{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} + \sqrt{81 (y^{3} - 1)}$

Schritt 9

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$y \sqrt{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} + \sqrt{81 (y^{3} - 1^{3})}$

Schritt 10

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = y$ und $b = 1$ .

$y \sqrt{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} + \sqrt{81 ((y - 1) (y^{2} + y \cdot 1 + 1^{2}))}$

Schritt 11

Faktorisiere.

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Schritt 11.1

Vereinfache.

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Schritt 11.1.1

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y \sqrt{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} + \sqrt{81 ((y - 1) (y^{2} + y + 1^{2}))}$

Schritt 11.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y \sqrt{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} + \sqrt{81 ((y - 1) (y^{2} + y + 1))}$

Schritt 11.2

Entferne unnötige Klammern.

$y \sqrt{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} + \sqrt{81 (y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

Schritt 12

Schreibe $81 (y - 1) (y^{2} + y + 1)$ als ${(3^{2})}^{2} ((y - 1) (y^{2} + y + 1))$ um.

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Schritt 12.1

Schreibe $81$ als $9^{2}$ um.

$y \sqrt{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} + \sqrt{9^{2} (y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

Schritt 12.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$y \sqrt{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} + \sqrt{{(3^{2})}^{2} (y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

Schritt 12.3

Füge Klammern hinzu.

$y \sqrt{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} + \sqrt{{(3^{2})}^{2} ((y - 1) (y^{2} + y + 1))}$

Schritt 13

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y \sqrt{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} + 3^{2} \sqrt{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

Schritt 14

Potenziere $3$ mit $2$ .

$y \sqrt{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} + 9 \sqrt{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

Schritt 15

Faktorisiere $\sqrt{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$ aus $y \sqrt{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} + 9 \sqrt{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$ heraus.

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Schritt 15.1

Faktorisiere $\sqrt{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$ aus $y \sqrt{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$ heraus.

$\sqrt{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} y + 9 \sqrt{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

Schritt 15.2

Faktorisiere $\sqrt{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$ aus $9 \sqrt{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$ heraus.

$\sqrt{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} y + \sqrt{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} \cdot 9$

Schritt 15.3

Faktorisiere $\sqrt{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$ aus $\sqrt{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} y + \sqrt{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} \cdot 9$ heraus.

$\sqrt{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} (y + 9)$