Grundlegende Mathematik Beispiele

$y^{3} - 11 y - 6$

Schritt 1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1$

Schritt 2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

Schritt 3

Setze $- 3$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 3$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 3.1

Setze $- 3$ in das Polynom ein.

${(- 3)}^{3} - 11 \cdot - 3 - 6$

Schritt 3.2

Potenziere $- 3$ mit $3$ .

$- 27 - 11 \cdot - 3 - 6$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $- 11$ mit $- 3$ .

$- 27 + 33 - 6$

Schritt 3.4

Addiere $- 27$ und $33$ .

$6 - 6$

Schritt 3.5

Subtrahiere $6$ von $6$ .

$0$

Schritt 4

Da $- 3$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $y + 3$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{y^{3} - 11 y - 6}{y + 3}$

Schritt 5

Dividiere $y^{3} - 11 y - 6$ durch $y + 3$ .

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Schritt 5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$y$

$3$

$y^{3}$

$0 y^{2}$

$11 y$

$6$

Schritt 5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $y^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $y$ .

					$y^{2}$
	$y$	+	$3$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$11 y$	-	$6$

Schritt 5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$y^{2}$
$y$	+	$3$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$11 y$	-	$6$
			+	$y^{3}$	+	$3 y^{2}$

Schritt 5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $y^{3} + 3 y^{2}$

				$y^{2}$
$y$	+	$3$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$11 y$	-	$6$
			-	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$

Schritt 5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$y^{2}$
$y$	+	$3$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$11 y$	-	$6$
			-	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					-	$3 y^{2}$

Schritt 5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$y^{2}$
$y$	+	$3$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$11 y$	-	$6$
			-	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					-	$3 y^{2}$	-	$11 y$

Schritt 5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 3 y^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $y$ .

				$y^{2}$	-	$3 y$
$y$	+	$3$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$11 y$	-	$6$
			-	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					-	$3 y^{2}$	-	$11 y$

Schritt 5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$y^{2}$	-	$3 y$
$y$	+	$3$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$11 y$	-	$6$
			-	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					-	$3 y^{2}$	-	$11 y$
					-	$3 y^{2}$	-	$9 y$

Schritt 5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 3 y^{2} - 9 y$

				$y^{2}$	-	$3 y$
$y$	+	$3$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$11 y$	-	$6$
			-	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					-	$3 y^{2}$	-	$11 y$
					+	$3 y^{2}$	+	$9 y$

Schritt 5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$y^{2}$	-	$3 y$
$y$	+	$3$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$11 y$	-	$6$
			-	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					-	$3 y^{2}$	-	$11 y$
					+	$3 y^{2}$	+	$9 y$
							-	$2 y$

Schritt 5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$y^{2}$	-	$3 y$
$y$	+	$3$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$11 y$	-	$6$
			-	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					-	$3 y^{2}$	-	$11 y$
					+	$3 y^{2}$	+	$9 y$
							-	$2 y$	-	$6$

Schritt 5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 2 y$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $y$ .

				$y^{2}$	-	$3 y$	-	$2$
$y$	+	$3$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$11 y$	-	$6$
			-	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					-	$3 y^{2}$	-	$11 y$
					+	$3 y^{2}$	+	$9 y$
							-	$2 y$	-	$6$

Schritt 5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$y^{2}$	-	$3 y$	-	$2$
$y$	+	$3$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$11 y$	-	$6$
			-	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					-	$3 y^{2}$	-	$11 y$
					+	$3 y^{2}$	+	$9 y$
							-	$2 y$	-	$6$
							-	$2 y$	-	$6$

Schritt 5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 2 y - 6$

				$y^{2}$	-	$3 y$	-	$2$
$y$	+	$3$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$11 y$	-	$6$
			-	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					-	$3 y^{2}$	-	$11 y$
					+	$3 y^{2}$	+	$9 y$
							-	$2 y$	-	$6$
							+	$2 y$	+	$6$

Schritt 5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$y^{2}$	-	$3 y$	-	$2$
$y$	+	$3$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$11 y$	-	$6$
			-	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					-	$3 y^{2}$	-	$11 y$
					+	$3 y^{2}$	+	$9 y$
							-	$2 y$	-	$6$
							+	$2 y$	+	$6$
										$0$

Schritt 5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$y^{2} - 3 y - 2$

Schritt 6

Schreibe $y^{3} - 11 y - 6$ als eine Menge von Faktoren.

$(y + 3) (y^{2} - 3 y - 2)$