Grundlegende Mathematik Beispiele

$10 p^{3} - 25 p^{2} + 20$

Schritt 1

Faktorisiere $5$ aus $10 p^{3} - 25 p^{2} + 20$ heraus.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $5$ aus $10 p^{3}$ heraus.

$5 (2 p^{3}) - 25 p^{2} + 20$

Schritt 1.2

Faktorisiere $5$ aus $- 25 p^{2}$ heraus.

$5 (2 p^{3}) + 5 (- 5 p^{2}) + 20$

Schritt 1.3

Faktorisiere $5$ aus $20$ heraus.

$5 (2 p^{3}) + 5 (- 5 p^{2}) + 5 (4)$

Schritt 1.4

Faktorisiere $5$ aus $5 (2 p^{3}) + 5 (- 5 p^{2})$ heraus.

$5 (2 p^{3} - 5 p^{2}) + 5 (4)$

Schritt 1.5

Faktorisiere $5$ aus $5 (2 p^{3} - 5 p^{2}) + 5 (4)$ heraus.

$5 (2 p^{3} - 5 p^{2} + 4)$

Schritt 2

Faktorisiere.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $2 p^{3} - 5 p^{2} + 4$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 2.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 2$

Schritt 2.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 4, \pm 2$

Schritt 2.1.3

Setze $2$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $2$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 2.1.3.1

Setze $2$ in das Polynom ein.

$2 \cdot 2^{3} - 5 \cdot 2^{2} + 4$

Schritt 2.1.3.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$2 \cdot 8 - 5 \cdot 2^{2} + 4$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$16 - 5 \cdot 2^{2} + 4$

Schritt 2.1.3.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$16 - 5 \cdot 4 + 4$

Schritt 2.1.3.5

Mutltipliziere $- 5$ mit $4$ .

$16 - 20 + 4$

Schritt 2.1.3.6

Subtrahiere $20$ von $16$ .

$- 4 + 4$

Schritt 2.1.3.7

Addiere $- 4$ und $4$ .

$0$

Schritt 2.1.4

Da $2$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $p - 2$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{2 p^{3} - 5 p^{2} + 4}{p - 2}$

Schritt 2.1.5

Dividiere $2 p^{3} - 5 p^{2} + 4$ durch $p - 2$ .

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Schritt 2.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$p$

$2$

$2 p^{3}$

$5 p^{2}$

$0 p$

$4$

Schritt 2.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $2 p^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $p$ .

					$2 p^{2}$
	$p$	-	$2$		$2 p^{3}$	-	$5 p^{2}$	+	$0 p$	+	$4$

Schritt 2.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$2 p^{2}$
$p$	-	$2$		$2 p^{3}$	-	$5 p^{2}$	+	$0 p$	+	$4$
			+	$2 p^{3}$	-	$4 p^{2}$

Schritt 2.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $2 p^{3} - 4 p^{2}$

				$2 p^{2}$
$p$	-	$2$		$2 p^{3}$	-	$5 p^{2}$	+	$0 p$	+	$4$
			-	$2 p^{3}$	+	$4 p^{2}$

Schritt 2.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$2 p^{2}$
$p$	-	$2$		$2 p^{3}$	-	$5 p^{2}$	+	$0 p$	+	$4$
			-	$2 p^{3}$	+	$4 p^{2}$
					-	$p^{2}$

Schritt 2.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$2 p^{2}$
$p$	-	$2$		$2 p^{3}$	-	$5 p^{2}$	+	$0 p$	+	$4$
			-	$2 p^{3}$	+	$4 p^{2}$
					-	$p^{2}$	+	$0 p$

Schritt 2.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- p^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $p$ .

				$2 p^{2}$	-	$p$
$p$	-	$2$		$2 p^{3}$	-	$5 p^{2}$	+	$0 p$	+	$4$
			-	$2 p^{3}$	+	$4 p^{2}$
					-	$p^{2}$	+	$0 p$

Schritt 2.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$2 p^{2}$	-	$p$
$p$	-	$2$		$2 p^{3}$	-	$5 p^{2}$	+	$0 p$	+	$4$
			-	$2 p^{3}$	+	$4 p^{2}$
					-	$p^{2}$	+	$0 p$
					-	$p^{2}$	+	$2 p$

Schritt 2.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- p^{2} + 2 p$

				$2 p^{2}$	-	$p$
$p$	-	$2$		$2 p^{3}$	-	$5 p^{2}$	+	$0 p$	+	$4$
			-	$2 p^{3}$	+	$4 p^{2}$
					-	$p^{2}$	+	$0 p$
					+	$p^{2}$	-	$2 p$

Schritt 2.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$2 p^{2}$	-	$p$
$p$	-	$2$		$2 p^{3}$	-	$5 p^{2}$	+	$0 p$	+	$4$
			-	$2 p^{3}$	+	$4 p^{2}$
					-	$p^{2}$	+	$0 p$
					+	$p^{2}$	-	$2 p$
							-	$2 p$

Schritt 2.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$2 p^{2}$	-	$p$
$p$	-	$2$		$2 p^{3}$	-	$5 p^{2}$	+	$0 p$	+	$4$
			-	$2 p^{3}$	+	$4 p^{2}$
					-	$p^{2}$	+	$0 p$
					+	$p^{2}$	-	$2 p$
							-	$2 p$	+	$4$

Schritt 2.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 2 p$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $p$ .

				$2 p^{2}$	-	$p$	-	$2$
$p$	-	$2$		$2 p^{3}$	-	$5 p^{2}$	+	$0 p$	+	$4$
			-	$2 p^{3}$	+	$4 p^{2}$
					-	$p^{2}$	+	$0 p$
					+	$p^{2}$	-	$2 p$
							-	$2 p$	+	$4$

Schritt 2.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$2 p^{2}$	-	$p$	-	$2$
$p$	-	$2$		$2 p^{3}$	-	$5 p^{2}$	+	$0 p$	+	$4$
			-	$2 p^{3}$	+	$4 p^{2}$
					-	$p^{2}$	+	$0 p$
					+	$p^{2}$	-	$2 p$
							-	$2 p$	+	$4$
							-	$2 p$	+	$4$

Schritt 2.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 2 p + 4$

				$2 p^{2}$	-	$p$	-	$2$
$p$	-	$2$		$2 p^{3}$	-	$5 p^{2}$	+	$0 p$	+	$4$
			-	$2 p^{3}$	+	$4 p^{2}$
					-	$p^{2}$	+	$0 p$
					+	$p^{2}$	-	$2 p$
							-	$2 p$	+	$4$
							+	$2 p$	-	$4$

Schritt 2.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$2 p^{2}$	-	$p$	-	$2$
$p$	-	$2$		$2 p^{3}$	-	$5 p^{2}$	+	$0 p$	+	$4$
			-	$2 p^{3}$	+	$4 p^{2}$
					-	$p^{2}$	+	$0 p$
					+	$p^{2}$	-	$2 p$
							-	$2 p$	+	$4$
							+	$2 p$	-	$4$
										$0$

Schritt 2.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$2 p^{2} - p - 2$

Schritt 2.1.6

Schreibe $2 p^{3} - 5 p^{2} + 4$ als eine Menge von Faktoren.

$5 ((p - 2) (2 p^{2} - p - 2))$

Schritt 2.2

Entferne unnötige Klammern.

$5 (p - 2) (2 p^{2} - p - 2)$