Grundlegende Mathematik Beispiele

$\frac{18 n^{2} - 98}{3 n^{2} - 10 n + 7} \cdot \frac{n^{2} - 11 n + 28}{4 n^{2} + 8 n - 5}$

Schritt 1

Faktorisiere $2$ aus $18 n^{2} - 98$ heraus.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $2$ aus $18 n^{2}$ heraus.

$\frac{2 (9 n^{2}) - 98}{3 n^{2} - 10 n + 7} \cdot \frac{n^{2} - 11 n + 28}{4 n^{2} + 8 n - 5}$

Schritt 1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 98$ heraus.

$\frac{2 (9 n^{2}) + 2 (- 49)}{3 n^{2} - 10 n + 7} \cdot \frac{n^{2} - 11 n + 28}{4 n^{2} + 8 n - 5}$

Schritt 1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (9 n^{2}) + 2 (- 49)$ heraus.

$\frac{2 (9 n^{2} - 49)}{3 n^{2} - 10 n + 7} \cdot \frac{n^{2} - 11 n + 28}{4 n^{2} + 8 n - 5}$

Schritt 2

Schreibe $9 n^{2}$ als ${(3 n)}^{2}$ um.

$\frac{2 ({(3 n)}^{2} - 49)}{3 n^{2} - 10 n + 7} \cdot \frac{n^{2} - 11 n + 28}{4 n^{2} + 8 n - 5}$

Schritt 3

Schreibe $49$ als $7^{2}$ um.

$\frac{2 ({(3 n)}^{2} - 7^{2})}{3 n^{2} - 10 n + 7} \cdot \frac{n^{2} - 11 n + 28}{4 n^{2} + 8 n - 5}$

Schritt 4

Faktorisiere.

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Schritt 4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 3 n$ und $b = 7$ .

$\frac{2 ((3 n + 7) (3 n - 7))}{3 n^{2} - 10 n + 7} \cdot \frac{n^{2} - 11 n + 28}{4 n^{2} + 8 n - 5}$

Schritt 4.2

Entferne unnötige Klammern.

$\frac{2 (3 n + 7) (3 n - 7)}{3 n^{2} - 10 n + 7} \cdot \frac{n^{2} - 11 n + 28}{4 n^{2} + 8 n - 5}$

Schritt 5

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 5.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot 7 = 21$ und deren Summe gleich $b = - 10$ ist.

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $- 10$ aus $- 10 n$ heraus.

$\frac{2 (3 n + 7) (3 n - 7)}{3 n^{2} - 10 (n) + 7} \cdot \frac{n^{2} - 11 n + 28}{4 n^{2} + 8 n - 5}$

Schritt 5.1.2

Schreibe $- 10$ um als $- 3$ plus $- 7$

$\frac{2 (3 n + 7) (3 n - 7)}{3 n^{2} + (- 3 - 7) n + 7} \cdot \frac{n^{2} - 11 n + 28}{4 n^{2} + 8 n - 5}$

Schritt 5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (3 n + 7) (3 n - 7)}{3 n^{2} - 3 n - 7 n + 7} \cdot \frac{n^{2} - 11 n + 28}{4 n^{2} + 8 n - 5}$

Schritt 5.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 5.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{2 (3 n + 7) (3 n - 7)}{(3 n^{2} - 3 n) - 7 n + 7} \cdot \frac{n^{2} - 11 n + 28}{4 n^{2} + 8 n - 5}$

Schritt 5.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{2 (3 n + 7) (3 n - 7)}{3 n (n - 1) - 7 (n - 1)} \cdot \frac{n^{2} - 11 n + 28}{4 n^{2} + 8 n - 5}$

Schritt 5.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $n - 1$ .

$\frac{2 (3 n + 7) (3 n - 7)}{(n - 1) (3 n - 7)} \cdot \frac{n^{2} - 11 n + 28}{4 n^{2} + 8 n - 5}$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck $\frac{2 (3 n + 7) (3 n - 7)}{(n - 1) (3 n - 7)}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (3 n + 7) (3 n - 7)}{(n - 1) (3 n - 7)} \cdot \frac{n^{2} - 11 n + 28}{4 n^{2} + 8 n - 5}$

Schritt 6.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 (3 n + 7)}{n - 1} \cdot \frac{n^{2} - 11 n + 28}{4 n^{2} + 8 n - 5}$

Schritt 7

Faktorisiere $n^{2} - 11 n + 28$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 7.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $28$ und deren Summe $- 11$ ist.

$- 7, - 4$

Schritt 7.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{2 (3 n + 7)}{n - 1} \cdot \frac{(n - 7) (n - 4)}{4 n^{2} + 8 n - 5}$

Schritt 8

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 8.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 4 \cdot - 5 = - 20$ und deren Summe gleich $b = 8$ ist.

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Schritt 8.1.1

Faktorisiere $8$ aus $8 n$ heraus.

$\frac{2 (3 n + 7)}{n - 1} \cdot \frac{(n - 7) (n - 4)}{4 n^{2} + 8 (n) - 5}$

Schritt 8.1.2

Schreibe $8$ um als $- 2$ plus $10$

$\frac{2 (3 n + 7)}{n - 1} \cdot \frac{(n - 7) (n - 4)}{4 n^{2} + (- 2 + 10) n - 5}$

Schritt 8.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (3 n + 7)}{n - 1} \cdot \frac{(n - 7) (n - 4)}{4 n^{2} - 2 n + 10 n - 5}$

Schritt 8.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 8.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{2 (3 n + 7)}{n - 1} \cdot \frac{(n - 7) (n - 4)}{(4 n^{2} - 2 n) + 10 n - 5}$

Schritt 8.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{2 (3 n + 7)}{n - 1} \cdot \frac{(n - 7) (n - 4)}{2 n (2 n - 1) + 5 (2 n - 1)}$

Schritt 8.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 n - 1$ .

$\frac{2 (3 n + 7)}{n - 1} \cdot \frac{(n - 7) (n - 4)}{(2 n - 1) (2 n + 5)}$