Grundlegende Mathematik Beispiele

${(m + n)}^{3} - {(m - n)}^{3}$

Schritt 1

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = m + n$ und $b = m - n$ .

$(m + n - (m - n)) ({(m + n)}^{2} + (m + n) (m - n) + {(m - n)}^{2})$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(m + n - m - - n) ({(m + n)}^{2} + (m + n) (m - n) + {(m - n)}^{2})$

Schritt 2.2

Multipliziere $- - n$ .

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Schritt 2.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$(m + n - m + 1 n) ({(m + n)}^{2} + (m + n) (m - n) + {(m - n)}^{2})$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $n$ mit $1$ .

$(m + n - m + n) ({(m + n)}^{2} + (m + n) (m - n) + {(m - n)}^{2})$

Schritt 2.3

Subtrahiere $m$ von $m$ .

$(n + 0 + n) ({(m + n)}^{2} + (m + n) (m - n) + {(m - n)}^{2})$

Schritt 2.4

Addiere $n$ und $0$ .

$(n + n) ({(m + n)}^{2} + (m + n) (m - n) + {(m - n)}^{2})$

Schritt 2.5

Addiere $n$ und $n$ .

$2 n ({(m + n)}^{2} + (m + n) (m - n) + {(m - n)}^{2})$

Schritt 2.6

Schreibe ${(m + n)}^{2}$ als $(m + n) (m + n)$ um.

$2 n ((m + n) (m + n) + (m + n) (m - n) + {(m - n)}^{2})$

Schritt 2.7

Multipliziere $(m + n) (m + n)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 n (m (m + n) + n (m + n) + (m + n) (m - n) + {(m - n)}^{2})$

Schritt 2.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 n (m \cdot m + m n + n (m + n) + (m + n) (m - n) + {(m - n)}^{2})$

Schritt 2.7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 n (m \cdot m + m n + n m + n \cdot n + (m + n) (m - n) + {(m - n)}^{2})$

Schritt 2.8

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.8.1.1

Mutltipliziere $m$ mit $m$ .

$2 n (m^{2} + m n + n m + n \cdot n + (m + n) (m - n) + {(m - n)}^{2})$

Schritt 2.8.1.2

Mutltipliziere $n$ mit $n$ .

$2 n (m^{2} + m n + n m + n^{2} + (m + n) (m - n) + {(m - n)}^{2})$

Schritt 2.8.2

Addiere $m n$ und $n m$ .

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Schritt 2.8.2.1

Stelle $n$ und $m$ um.

$2 n (m^{2} + m n + m n + n^{2} + (m + n) (m - n) + {(m - n)}^{2})$

Schritt 2.8.2.2

Addiere $m n$ und $m n$ .

$2 n (m^{2} + 2 m n + n^{2} + (m + n) (m - n) + {(m - n)}^{2})$

Schritt 2.9

Multipliziere $(m + n) (m - n)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 n (m^{2} + 2 m n + n^{2} + m (m - n) + n (m - n) + {(m - n)}^{2})$

Schritt 2.9.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 n (m^{2} + 2 m n + n^{2} + m \cdot m + m (- n) + n (m - n) + {(m - n)}^{2})$

Schritt 2.9.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 n (m^{2} + 2 m n + n^{2} + m \cdot m + m (- n) + n m + n (- n) + {(m - n)}^{2})$

Schritt 2.10

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $m \cdot m + m (- n) + n m + n (- n)$ .

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Schritt 2.10.1

Ordne die Faktoren in den Termen $m (- n)$ und $n m$ neu an.

$2 n (m^{2} + 2 m n + n^{2} + m \cdot m - m n + m n + n (- n) + {(m - n)}^{2})$

Schritt 2.10.2

Addiere $- m n$ und $m n$ .

$2 n (m^{2} + 2 m n + n^{2} + m \cdot m + 0 + n (- n) + {(m - n)}^{2})$

Schritt 2.10.3

Addiere $m \cdot m$ und $0$ .

$2 n (m^{2} + 2 m n + n^{2} + m \cdot m + n (- n) + {(m - n)}^{2})$

Schritt 2.11

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.11.1

Mutltipliziere $m$ mit $m$ .

$2 n (m^{2} + 2 m n + n^{2} + m^{2} + n (- n) + {(m - n)}^{2})$

Schritt 2.11.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 n (m^{2} + 2 m n + n^{2} + m^{2} - n \cdot n + {(m - n)}^{2})$

Schritt 2.11.3

Multipliziere $n$ mit $n$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.11.3.1

Bewege $n$ .

$2 n (m^{2} + 2 m n + n^{2} + m^{2} - (n \cdot n) + {(m - n)}^{2})$

Schritt 2.11.3.2

Mutltipliziere $n$ mit $n$ .

$2 n (m^{2} + 2 m n + n^{2} + m^{2} - n^{2} + {(m - n)}^{2})$

Schritt 2.12

Schreibe ${(m - n)}^{2}$ als $(m - n) (m - n)$ um.

$2 n (m^{2} + 2 m n + n^{2} + m^{2} - n^{2} + (m - n) (m - n))$

Schritt 2.13

Multipliziere $(m - n) (m - n)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.13.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 n (m^{2} + 2 m n + n^{2} + m^{2} - n^{2} + m (m - n) - n (m - n))$

Schritt 2.13.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 n (m^{2} + 2 m n + n^{2} + m^{2} - n^{2} + m \cdot m + m (- n) - n (m - n))$

Schritt 2.13.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 n (m^{2} + 2 m n + n^{2} + m^{2} - n^{2} + m \cdot m + m (- n) - n m - n (- n))$

Schritt 2.14

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.14.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.14.1.1

Mutltipliziere $m$ mit $m$ .

$2 n (m^{2} + 2 m n + n^{2} + m^{2} - n^{2} + m^{2} + m (- n) - n m - n (- n))$

Schritt 2.14.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 n (m^{2} + 2 m n + n^{2} + m^{2} - n^{2} + m^{2} - m n - n m - n (- n))$

Schritt 2.14.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 n (m^{2} + 2 m n + n^{2} + m^{2} - n^{2} + m^{2} - m n - n m - 1 \cdot - 1 n \cdot n)$

Schritt 2.14.1.4

Multipliziere $n$ mit $n$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.14.1.4.1

Bewege $n$ .

$2 n (m^{2} + 2 m n + n^{2} + m^{2} - n^{2} + m^{2} - m n - n m - 1 \cdot - 1 (n \cdot n))$

Schritt 2.14.1.4.2

Mutltipliziere $n$ mit $n$ .

$2 n (m^{2} + 2 m n + n^{2} + m^{2} - n^{2} + m^{2} - m n - n m - 1 \cdot - 1 n^{2})$

Schritt 2.14.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$2 n (m^{2} + 2 m n + n^{2} + m^{2} - n^{2} + m^{2} - m n - n m + 1 n^{2})$

Schritt 2.14.1.6

Mutltipliziere $n^{2}$ mit $1$ .

$2 n (m^{2} + 2 m n + n^{2} + m^{2} - n^{2} + m^{2} - m n - n m + n^{2})$

Schritt 2.14.2

Subtrahiere $n m$ von $- m n$ .

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Schritt 2.14.2.1

Bewege $n$ .

$2 n (m^{2} + 2 m n + n^{2} + m^{2} - n^{2} + m^{2} - m n - 1 m n + n^{2})$

Schritt 2.14.2.2

Subtrahiere $m n$ von $- m n$ .

$2 n (m^{2} + 2 m n + n^{2} + m^{2} - n^{2} + m^{2} - 2 m n + n^{2})$

Schritt 2.15

Addiere $m^{2}$ und $m^{2}$ .

$2 n (2 m^{2} + 2 m n + n^{2} - n^{2} + m^{2} - 2 m n + n^{2})$

Schritt 2.16

Addiere $2 m^{2}$ und $m^{2}$ .

$2 n (3 m^{2} + 2 m n + n^{2} - n^{2} - 2 m n + n^{2})$

Schritt 2.17

Subtrahiere $2 m n$ von $2 m n$ .

$2 n (3 m^{2} + n^{2} - n^{2} + 0 + n^{2})$

Schritt 2.18

Addiere $3 m^{2}$ und $0$ .

$2 n (3 m^{2} + n^{2} - n^{2} + n^{2})$

Schritt 2.19

Subtrahiere $n^{2}$ von $n^{2}$ .

$2 n (3 m^{2} + 0 + n^{2})$

Schritt 2.20

Addiere $3 m^{2}$ und $0$ .

$2 n (3 m^{2} + n^{2})$