Grundlegende Mathematik Beispiele

$4 t^{3} + 3 t^{2} - 5 t - 2$

Schritt 1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Schritt 2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 2$

Schritt 3

Setze $1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 3.1

Setze $1$ in das Polynom ein.

$4 \cdot 1^{3} + 3 \cdot 1^{2} - 5 \cdot 1 - 2$

Schritt 3.2

Potenziere $1$ mit $3$ .

$4 \cdot 1 + 3 \cdot 1^{2} - 5 \cdot 1 - 2$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4 + 3 \cdot 1^{2} - 5 \cdot 1 - 2$

Schritt 3.4

Potenziere $1$ mit $2$ .

$4 + 3 \cdot 1 - 5 \cdot 1 - 2$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$4 + 3 - 5 \cdot 1 - 2$

Schritt 3.6

Addiere $4$ und $3$ .

$7 - 5 \cdot 1 - 2$

Schritt 3.7

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$7 - 5 - 2$

Schritt 3.8

Subtrahiere $5$ von $7$ .

$2 - 2$

Schritt 3.9

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$0$

Schritt 4

Da $1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $t - 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{4 t^{3} + 3 t^{2} - 5 t - 2}{t - 1}$

Schritt 5

Dividiere $4 t^{3} + 3 t^{2} - 5 t - 2$ durch $t - 1$ .

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Schritt 5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$t$

$1$

$4 t^{3}$

$3 t^{2}$

$5 t$

$2$

Schritt 5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $4 t^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $t$ .

					$4 t^{2}$
	$t$	-	$1$		$4 t^{3}$	+	$3 t^{2}$	-	$5 t$	-	$2$

Schritt 5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$4 t^{2}$
$t$	-	$1$		$4 t^{3}$	+	$3 t^{2}$	-	$5 t$	-	$2$
			+	$4 t^{3}$	-	$4 t^{2}$

Schritt 5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $4 t^{3} - 4 t^{2}$

				$4 t^{2}$
$t$	-	$1$		$4 t^{3}$	+	$3 t^{2}$	-	$5 t$	-	$2$
			-	$4 t^{3}$	+	$4 t^{2}$

Schritt 5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$4 t^{2}$
$t$	-	$1$		$4 t^{3}$	+	$3 t^{2}$	-	$5 t$	-	$2$
			-	$4 t^{3}$	+	$4 t^{2}$
					+	$7 t^{2}$

Schritt 5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$4 t^{2}$
$t$	-	$1$		$4 t^{3}$	+	$3 t^{2}$	-	$5 t$	-	$2$
			-	$4 t^{3}$	+	$4 t^{2}$
					+	$7 t^{2}$	-	$5 t$

Schritt 5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $7 t^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $t$ .

				$4 t^{2}$	+	$7 t$
$t$	-	$1$		$4 t^{3}$	+	$3 t^{2}$	-	$5 t$	-	$2$
			-	$4 t^{3}$	+	$4 t^{2}$
					+	$7 t^{2}$	-	$5 t$

Schritt 5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$4 t^{2}$	+	$7 t$
$t$	-	$1$		$4 t^{3}$	+	$3 t^{2}$	-	$5 t$	-	$2$
			-	$4 t^{3}$	+	$4 t^{2}$
					+	$7 t^{2}$	-	$5 t$
					+	$7 t^{2}$	-	$7 t$

Schritt 5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $7 t^{2} - 7 t$

				$4 t^{2}$	+	$7 t$
$t$	-	$1$		$4 t^{3}$	+	$3 t^{2}$	-	$5 t$	-	$2$
			-	$4 t^{3}$	+	$4 t^{2}$
					+	$7 t^{2}$	-	$5 t$
					-	$7 t^{2}$	+	$7 t$

Schritt 5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$4 t^{2}$	+	$7 t$
$t$	-	$1$		$4 t^{3}$	+	$3 t^{2}$	-	$5 t$	-	$2$
			-	$4 t^{3}$	+	$4 t^{2}$
					+	$7 t^{2}$	-	$5 t$
					-	$7 t^{2}$	+	$7 t$
							+	$2 t$

Schritt 5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$4 t^{2}$	+	$7 t$
$t$	-	$1$		$4 t^{3}$	+	$3 t^{2}$	-	$5 t$	-	$2$
			-	$4 t^{3}$	+	$4 t^{2}$
					+	$7 t^{2}$	-	$5 t$
					-	$7 t^{2}$	+	$7 t$
							+	$2 t$	-	$2$

Schritt 5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $2 t$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $t$ .

				$4 t^{2}$	+	$7 t$	+	$2$
$t$	-	$1$		$4 t^{3}$	+	$3 t^{2}$	-	$5 t$	-	$2$
			-	$4 t^{3}$	+	$4 t^{2}$
					+	$7 t^{2}$	-	$5 t$
					-	$7 t^{2}$	+	$7 t$
							+	$2 t$	-	$2$

Schritt 5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$4 t^{2}$	+	$7 t$	+	$2$
$t$	-	$1$		$4 t^{3}$	+	$3 t^{2}$	-	$5 t$	-	$2$
			-	$4 t^{3}$	+	$4 t^{2}$
					+	$7 t^{2}$	-	$5 t$
					-	$7 t^{2}$	+	$7 t$
							+	$2 t$	-	$2$
							+	$2 t$	-	$2$

Schritt 5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $2 t - 2$

				$4 t^{2}$	+	$7 t$	+	$2$
$t$	-	$1$		$4 t^{3}$	+	$3 t^{2}$	-	$5 t$	-	$2$
			-	$4 t^{3}$	+	$4 t^{2}$
					+	$7 t^{2}$	-	$5 t$
					-	$7 t^{2}$	+	$7 t$
							+	$2 t$	-	$2$
							-	$2 t$	+	$2$

Schritt 5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$4 t^{2}$	+	$7 t$	+	$2$
$t$	-	$1$		$4 t^{3}$	+	$3 t^{2}$	-	$5 t$	-	$2$
			-	$4 t^{3}$	+	$4 t^{2}$
					+	$7 t^{2}$	-	$5 t$
					-	$7 t^{2}$	+	$7 t$
							+	$2 t$	-	$2$
							-	$2 t$	+	$2$
										$0$

Schritt 5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$4 t^{2} + 7 t + 2$

Schritt 6

Schreibe $4 t^{3} + 3 t^{2} - 5 t - 2$ als eine Menge von Faktoren.

$(t - 1) (4 t^{2} + 7 t + 2)$