Grundlegende Mathematik Beispiele

$1 + a^{7}$

Schritt 1

Stelle die Terme um.

$a^{7} + 1$

Schritt 2

Faktorisiere $a^{7} + 1$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1$

Schritt 2.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1$

Schritt 2.3

Setze $- 1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 1$ eine Wurzel des Polynoms.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Setze $- 1$ in das Polynom ein.

${(- 1)}^{7} + 1$

Schritt 2.3.2

Potenziere $- 1$ mit $7$ .

$- 1 + 1$

Schritt 2.3.3

Addiere $- 1$ und $1$ .

$0$

Schritt 2.4

Da $- 1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $a + 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{a^{7} + 1}{a + 1}$

Schritt 2.5

Dividiere $a^{7} + 1$ durch $a + 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

Schritt 2.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $a^{7}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $a$ .

$a^{6}$

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

Schritt 2.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$a^{6}$

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

$a^{7}$

$a^{6}$

Schritt 2.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $a^{7} + a^{6}$

$a^{6}$

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

$a^{7}$

$a^{6}$

Schritt 2.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$a^{6}$

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

$a^{7}$

$a^{6}$

Schritt 2.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$a^{6}$

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

$a^{7}$

$a^{6}$

$0 a^{5}$

Schritt 2.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- a^{6}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $a$ .

$a^{6}$

$a^{5}$

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

$a^{7}$

$a^{6}$

$0 a^{5}$

Schritt 2.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$a^{6}$

$a^{5}$

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

$a^{7}$

$a^{6}$

$0 a^{5}$

$a^{6}$

$a^{5}$

Schritt 2.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- a^{6} - a^{5}$

$a^{6}$

$a^{5}$

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

$a^{7}$

$a^{6}$

$0 a^{5}$

$a^{6}$

$a^{5}$

Schritt 2.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$a^{6}$

$a^{5}$

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

$a^{7}$

$a^{6}$

$0 a^{5}$

$a^{6}$

$a^{5}$

Schritt 2.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$a^{6}$

$a^{5}$

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

$a^{7}$

$a^{6}$

$0 a^{5}$

$a^{6}$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

Schritt 2.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $a^{5}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $a$ .

$a^{6}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

$a^{7}$

$a^{6}$

$0 a^{5}$

$a^{6}$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

Schritt 2.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$a^{6}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

$a^{7}$

$a^{6}$

$0 a^{5}$

$a^{6}$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$a^{5}$

$a^{4}$

Schritt 2.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $a^{5} + a^{4}$

$a^{6}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

$a^{7}$

$a^{6}$

$0 a^{5}$

$a^{6}$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$a^{5}$

$a^{4}$

Schritt 2.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$a^{6}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

$a^{7}$

$a^{6}$

$0 a^{5}$

$a^{6}$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$a^{5}$

$a^{4}$

Schritt 2.5.16

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$a^{6}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

$a^{7}$

$a^{6}$

$0 a^{5}$

$a^{6}$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$0 a^{3}$

Schritt 2.5.17

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- a^{4}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $a$ .

$a^{6}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

$a^{7}$

$a^{6}$

$0 a^{5}$

$a^{6}$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$0 a^{3}$

Schritt 2.5.18

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$a^{6}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

$a^{7}$

$a^{6}$

$0 a^{5}$

$a^{6}$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$0 a^{3}$

$a^{4}$

$a^{3}$

Schritt 2.5.19

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- a^{4} - a^{3}$

$a^{6}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

$a^{7}$

$a^{6}$

$0 a^{5}$

$a^{6}$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$0 a^{3}$

$a^{4}$

$a^{3}$

Schritt 2.5.20

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$a^{6}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

$a^{7}$

$a^{6}$

$0 a^{5}$

$a^{6}$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$0 a^{3}$

$a^{4}$

$a^{3}$

Schritt 2.5.21

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$a^{6}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

$a^{7}$

$a^{6}$

$0 a^{5}$

$a^{6}$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$0 a^{3}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$0 a^{2}$

Schritt 2.5.22

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $a^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $a$ .

$a^{6}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$a^{2}$

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

$a^{7}$

$a^{6}$

$0 a^{5}$

$a^{6}$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$0 a^{3}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$0 a^{2}$

Schritt 2.5.23

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$a^{6}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$a^{2}$

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

$a^{7}$

$a^{6}$

$0 a^{5}$

$a^{6}$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$0 a^{3}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$0 a^{2}$

$a^{3}$

$a^{2}$

Schritt 2.5.24

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $a^{3} + a^{2}$

$a^{6}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$a^{2}$

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

$a^{7}$

$a^{6}$

$0 a^{5}$

$a^{6}$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$0 a^{3}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$0 a^{2}$

$a^{3}$

$a^{2}$

Schritt 2.5.25

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$a^{6}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$a^{2}$

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

$a^{7}$

$a^{6}$

$0 a^{5}$

$a^{6}$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$0 a^{3}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$0 a^{2}$

$a^{3}$

$a^{2}$

Schritt 2.5.26

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$a^{6}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$a^{2}$

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

$a^{7}$

$a^{6}$

$0 a^{5}$

$a^{6}$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$0 a^{3}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$0 a^{2}$

$a^{3}$

$a^{2}$

$0 a$

Schritt 2.5.27

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- a^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $a$ .

$a^{6}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$a^{2}$

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

$a^{7}$

$a^{6}$

$0 a^{5}$

$a^{6}$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$0 a^{3}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$0 a^{2}$

$a^{3}$

$a^{2}$

$0 a$

Schritt 2.5.28

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$a^{6}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$a^{2}$

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

$a^{7}$

$a^{6}$

$0 a^{5}$

$a^{6}$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$0 a^{3}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$0 a^{2}$

$a^{3}$

$a^{2}$

$0 a$

$a^{2}$

$a$

Schritt 2.5.29

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- a^{2} - a$

$a^{6}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$a^{2}$

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

$a^{7}$

$a^{6}$

$0 a^{5}$

$a^{6}$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$0 a^{3}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$0 a^{2}$

$a^{3}$

$a^{2}$

$0 a$

$a^{2}$

$a$

Schritt 2.5.30

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$a^{6}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$a^{2}$

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

$a^{7}$

$a^{6}$

$0 a^{5}$

$a^{6}$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$0 a^{3}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$0 a^{2}$

$a^{3}$

$a^{2}$

$0 a$

$a^{2}$

$a$

Schritt 2.5.31

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$a^{6}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$a^{2}$

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

$a^{7}$

$a^{6}$

$0 a^{5}$

$a^{6}$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$0 a^{3}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$0 a^{2}$

$a^{3}$

$a^{2}$

$0 a$

$a^{2}$

$a$

$1$

Schritt 2.5.32

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $a$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $a$ .

$a^{6}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$a^{2}$

$a$

$1$

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

$a^{7}$

$a^{6}$

$0 a^{5}$

$a^{6}$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$0 a^{3}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$0 a^{2}$

$a^{3}$

$a^{2}$

$0 a$

$a^{2}$

$a$

$1$

Schritt 2.5.33

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$a^{6}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$a^{2}$

$a$

$1$

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

$a^{7}$

$a^{6}$

$0 a^{5}$

$a^{6}$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$0 a^{3}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$0 a^{2}$

$a^{3}$

$a^{2}$

$0 a$

$a^{2}$

$a$

$1$

$a$

$1$

Schritt 2.5.34

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $a + 1$

$a^{6}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$a^{2}$

$a$

$1$

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

$a^{7}$

$a^{6}$

$0 a^{5}$

$a^{6}$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$0 a^{3}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$0 a^{2}$

$a^{3}$

$a^{2}$

$0 a$

$a^{2}$

$a$

$1$

$a$

$1$

Schritt 2.5.35

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$a^{6}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$a^{2}$

$a$

$1$

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

$a^{7}$

$a^{6}$

$0 a^{5}$

$a^{6}$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$0 a^{3}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$0 a^{2}$

$a^{3}$

$a^{2}$

$0 a$

$a^{2}$

$a$

$1$

$a$

$1$

$0$

Schritt 2.5.36

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$a^{6} - a^{5} + a^{4} - a^{3} + a^{2} - a + 1$

Schritt 2.6

Schreibe $a^{7} + 1$ als eine Menge von Faktoren.

$(a + 1) (a^{6} - a^{5} + a^{4} - a^{3} + a^{2} - a + 1)$