Grundlegende Mathematik Beispiele

$\frac{1}{a^{2} - 1} - \frac{a - 1}{a^{2} + 3 a - 4}$

Schritt 1

Faktorisiere $a^{2} + 3 a - 4$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 4$ und deren Summe $3$ ist.

$- 1, 4$

Schritt 1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{1}{a^{2} - 1} - \frac{a - 1}{(a - 1) (a + 4)}$

Schritt 2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a - 1$ .

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Schritt 2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{a^{2} - 1} - \frac{a - 1}{(a - 1) (a + 4)}$

Schritt 2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{a^{2} - 1} - \frac{1}{a + 4}$

Schritt 3

Um $\frac{1}{a^{2} - 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{a + 4}{a + 4}$ .

$\frac{1}{a^{2} - 1} \cdot \frac{a + 4}{a + 4} - \frac{1}{a + 4}$

Schritt 4

Um $- \frac{1}{a + 4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{a^{2} - 1}{a^{2} - 1}$ .

$\frac{1}{a^{2} - 1} \cdot \frac{a + 4}{a + 4} - \frac{1}{a + 4} \cdot \frac{a^{2} - 1}{a^{2} - 1}$

Schritt 5

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(a^{2} - 1) (a + 4)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{a^{2} - 1}$ mit $\frac{a + 4}{a + 4}$ .

$\frac{a + 4}{(a^{2} - 1) (a + 4)} - \frac{1}{a + 4} \cdot \frac{a^{2} - 1}{a^{2} - 1}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $\frac{1}{a + 4}$ mit $\frac{a^{2} - 1}{a^{2} - 1}$ .

$\frac{a + 4}{(a^{2} - 1) (a + 4)} - \frac{a^{2} - 1}{(a + 4) (a^{2} - 1)}$

Schritt 5.3

Stelle die Faktoren von $(a^{2} - 1) (a + 4)$ um.

$\frac{a + 4}{(a + 4) (a^{2} - 1)} - \frac{a^{2} - 1}{(a + 4) (a^{2} - 1)}$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{a + 4 - (a^{2} - 1)}{(a + 4) (a^{2} - 1)}$

Schritt 7

Schreibe $\frac{a + 4 - (a^{2} - 1)}{(a + 4) (a^{2} - 1)}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{a + 4 - a^{2} - - 1}{(a + 4) (a^{2} - 1)}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{a + 4 - a^{2} + 1}{(a + 4) (a^{2} - 1)}$

Schritt 7.3

Addiere $4$ und $1$ .

$\frac{a - a^{2} + 5}{(a + 4) (a^{2} - 1)}$

Schritt 7.4

Stelle die Terme um.

$\frac{- a^{2} + a + 5}{(a + 4) (a^{2} - 1)}$

Schritt 7.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- a^{2} + a + 5$ heraus.

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Schritt 7.5.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- a^{2}$ heraus.

$\frac{- (a^{2}) + a + 5}{(a + 4) (a^{2} - 1)}$

Schritt 7.5.2

Faktorisiere $- 1$ aus $a$ heraus.

$\frac{- (a^{2}) - 1 (- a) + 5}{(a + 4) (a^{2} - 1)}$

Schritt 7.5.3

Schreibe $5$ als $- 1 (- 5)$ um.

$\frac{- (a^{2}) - 1 (- a) - 1 (- 5)}{(a + 4) (a^{2} - 1)}$

Schritt 7.5.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (a^{2}) - 1 (- a)$ heraus.

$\frac{- (a^{2} - a) - 1 (- 5)}{(a + 4) (a^{2} - 1)}$

Schritt 7.5.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (a^{2} - a) - 1 (- 5)$ heraus.

$\frac{- (a^{2} - a - 5)}{(a + 4) (a^{2} - 1)}$

Schritt 7.6

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{- (a^{2} - a - 5)}{(a + 4) (a^{2} - 1^{2})}$

Schritt 7.7

Faktorisiere.

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Schritt 7.7.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = a$ und $b = 1$ .

$\frac{- (a^{2} - a - 5)}{(a + 4) ((a + 1) (a - 1))}$

Schritt 7.7.2

Entferne unnötige Klammern.

$\frac{- (a^{2} - a - 5)}{(a + 4) (a + 1) (a - 1)}$