Grundlegende Mathematik Beispiele

$\frac{a^{2} - 16 a + 64}{a^{2} - 64} \cdot \frac{a^{3} - 9 a^{2} + 8 a}{2 a^{2} - 128}$

Schritt 1

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 1.1

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$\frac{a^{2} - 16 a + 8^{2}}{a^{2} - 64} \cdot \frac{a^{3} - 9 a^{2} + 8 a}{2 a^{2} - 128}$

Schritt 1.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$16 a = 2 \cdot a \cdot 8$

Schritt 1.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{a^{2} - 2 \cdot a \cdot 8 + 8^{2}}{a^{2} - 64} \cdot \frac{a^{3} - 9 a^{2} + 8 a}{2 a^{2} - 128}$

Schritt 1.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = a$ und $b = 8$ .

$\frac{{(a - 8)}^{2}}{a^{2} - 64} \cdot \frac{a^{3} - 9 a^{2} + 8 a}{2 a^{2} - 128}$

Schritt 2

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$\frac{{(a - 8)}^{2}}{a^{2} - 8^{2}} \cdot \frac{a^{3} - 9 a^{2} + 8 a}{2 a^{2} - 128}$

Schritt 3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = a$ und $b = 8$ .

$\frac{{(a - 8)}^{2}}{(a + 8) (a - 8)} \cdot \frac{a^{3} - 9 a^{2} + 8 a}{2 a^{2} - 128}$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck $\frac{{(a - 8)}^{2}}{(a + 8) (a - 8)}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $a - 8$ aus ${(a - 8)}^{2}$ heraus.

$\frac{(a - 8) (a - 8)}{(a + 8) (a - 8)} \cdot \frac{a^{3} - 9 a^{2} + 8 a}{2 a^{2} - 128}$

Schritt 4.2

Faktorisiere $a - 8$ aus $(a + 8) (a - 8)$ heraus.

$\frac{(a - 8) (a - 8)}{(a - 8) (a + 8)} \cdot \frac{a^{3} - 9 a^{2} + 8 a}{2 a^{2} - 128}$

Schritt 4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(a - 8) (a - 8)}{(a - 8) (a + 8)} \cdot \frac{a^{3} - 9 a^{2} + 8 a}{2 a^{2} - 128}$

Schritt 4.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{a - 8}{a + 8} \cdot \frac{a^{3} - 9 a^{2} + 8 a}{2 a^{2} - 128}$

Schritt 5

Faktorisiere $a$ aus $a^{3} - 9 a^{2} + 8 a$ heraus.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $a$ aus $a^{3}$ heraus.

$\frac{a - 8}{a + 8} \cdot \frac{a \cdot a^{2} - 9 a^{2} + 8 a}{2 a^{2} - 128}$

Schritt 5.2

Faktorisiere $a$ aus $- 9 a^{2}$ heraus.

$\frac{a - 8}{a + 8} \cdot \frac{a \cdot a^{2} + a (- 9 a) + 8 a}{2 a^{2} - 128}$

Schritt 5.3

Faktorisiere $a$ aus $8 a$ heraus.

$\frac{a - 8}{a + 8} \cdot \frac{a \cdot a^{2} + a (- 9 a) + a \cdot 8}{2 a^{2} - 128}$

Schritt 5.4

Faktorisiere $a$ aus $a \cdot a^{2} + a (- 9 a)$ heraus.

$\frac{a - 8}{a + 8} \cdot \frac{a (a^{2} - 9 a) + a \cdot 8}{2 a^{2} - 128}$

Schritt 5.5

Faktorisiere $a$ aus $a (a^{2} - 9 a) + a \cdot 8$ heraus.

$\frac{a - 8}{a + 8} \cdot \frac{a (a^{2} - 9 a + 8)}{2 a^{2} - 128}$

Schritt 6

Faktorisiere.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $a^{2} - 9 a + 8$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 6.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $8$ und deren Summe $- 9$ ist.

$- 8, - 1$

Schritt 6.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{a - 8}{a + 8} \cdot \frac{a ((a - 8) (a - 1))}{2 a^{2} - 128}$

Schritt 6.2

Entferne unnötige Klammern.

$\frac{a - 8}{a + 8} \cdot \frac{a (a - 8) (a - 1)}{2 a^{2} - 128}$

Schritt 7

Faktorisiere $2$ aus $2 a^{2} - 128$ heraus.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $2$ aus $2 a^{2}$ heraus.

$\frac{a - 8}{a + 8} \cdot \frac{a (a - 8) (a - 1)}{2 (a^{2}) - 128}$

Schritt 7.2

Faktorisiere $2$ aus $- 128$ heraus.

$\frac{a - 8}{a + 8} \cdot \frac{a (a - 8) (a - 1)}{2 a^{2} + 2 \cdot - 64}$

Schritt 7.3

Faktorisiere $2$ aus $2 a^{2} + 2 \cdot - 64$ heraus.

$\frac{a - 8}{a + 8} \cdot \frac{a (a - 8) (a - 1)}{2 (a^{2} - 64)}$

Schritt 8

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$\frac{a - 8}{a + 8} \cdot \frac{a (a - 8) (a - 1)}{2 (a^{2} - 8^{2})}$

Schritt 9

Faktorisiere.

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Schritt 9.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = a$ und $b = 8$ .

$\frac{a - 8}{a + 8} \cdot \frac{a (a - 8) (a - 1)}{2 ((a + 8) (a - 8))}$

Schritt 9.2

Entferne unnötige Klammern.

$\frac{a - 8}{a + 8} \cdot \frac{a (a - 8) (a - 1)}{2 (a + 8) (a - 8)}$

Schritt 10

Vereinfache den Ausdruck $\frac{a (a - 8) (a - 1)}{2 (a + 8) (a - 8)}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{a - 8}{a + 8} \cdot \frac{a (a - 8) (a - 1)}{2 (a + 8) (a - 8)}$

Schritt 10.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{a - 8}{a + 8} \cdot \frac{a (a - 1)}{2 (a + 8)}$