Grundlegende Mathematik Beispiele

$n^{2} - \frac{m^{2}}{n^{2} - 2 m n + m^{2}}$

Schritt 1

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 1.1

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 m n = 2 \cdot n \cdot m$

Schritt 1.2

Schreibe das Polynom neu.

$n^{2} - \frac{m^{2}}{n^{2} - 2 \cdot n \cdot m + m^{2}}$

Schritt 1.3

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = n$ und $b = m$ .

$n^{2} - \frac{m^{2}}{{(n - m)}^{2}}$

Schritt 2

Schreibe $n^{2} - \frac{m^{2}}{{(n - m)}^{2}}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 2.1

Schreibe $\frac{m^{2}}{{(n - m)}^{2}}$ als ${(\frac{m}{n - m})}^{2}$ um.

$n^{2} - {(\frac{m}{n - m})}^{2}$

Schritt 2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = n$ und $b = \frac{m}{n - m}$ .

$(n + \frac{m}{n - m}) (n - \frac{m}{n - m})$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Um $n$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{n - m}{n - m}$ .

$(\frac{n (n - m)}{n - m} + \frac{m}{n - m}) (n - \frac{m}{n - m})$

Schritt 2.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{n (n - m) + m}{n - m} (n - \frac{m}{n - m})$

Schritt 2.3.3

Schreibe $\frac{n (n - m) + m}{n - m}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 2.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{n \cdot n + n (- m) + m}{n - m} (n - \frac{m}{n - m})$

Schritt 2.3.3.2

Mutltipliziere $n$ mit $n$ .

$\frac{n^{2} + n (- m) + m}{n - m} (n - \frac{m}{n - m})$

Schritt 2.3.3.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{n^{2} - n m + m}{n - m} (n - \frac{m}{n - m})$

Schritt 2.3.4

Um $n$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{n - m}{n - m}$ .

$\frac{n^{2} - n m + m}{n - m} (\frac{n (n - m)}{n - m} - \frac{m}{n - m})$

Schritt 2.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{n^{2} - n m + m}{n - m} \cdot \frac{n (n - m) - m}{n - m}$

Schritt 2.3.6

Schreibe $\frac{n (n - m) - m}{n - m}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 2.3.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{n^{2} - n m + m}{n - m} \cdot \frac{n \cdot n + n (- m) - m}{n - m}$

Schritt 2.3.6.2

Mutltipliziere $n$ mit $n$ .

$\frac{n^{2} - n m + m}{n - m} \cdot \frac{n^{2} + n (- m) - m}{n - m}$

Schritt 2.3.6.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{n^{2} - n m + m}{n - m} \cdot \frac{n^{2} - n m - m}{n - m}$