Grundlegende Mathematik Beispiele

$y^{3} - 7 y - 6$

Schritt 1

Faktorisiere $y^{3} - 7 y - 6$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1$

Schritt 1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

Schritt 1.3

Setze $- 1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 1.3.1

Setze $- 1$ in das Polynom ein.

${(- 1)}^{3} - 7 \cdot - 1 - 6$

Schritt 1.3.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$- 1 - 7 \cdot - 1 - 6$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $- 7$ mit $- 1$ .

$- 1 + 7 - 6$

Schritt 1.3.4

Addiere $- 1$ und $7$ .

$6 - 6$

Schritt 1.3.5

Subtrahiere $6$ von $6$ .

$0$

Schritt 1.4

Da $- 1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $y + 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{y^{3} - 7 y - 6}{y + 1}$

Schritt 1.5

Dividiere $y^{3} - 7 y - 6$ durch $y + 1$ .

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Schritt 1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$y$

$1$

$y^{3}$

$0 y^{2}$

$7 y$

$6$

Schritt 1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $y^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $y$ .

					$y^{2}$
	$y$	+	$1$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$7 y$	-	$6$

Schritt 1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$y^{2}$
$y$	+	$1$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$7 y$	-	$6$
			+	$y^{3}$	+	$y^{2}$

Schritt 1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $y^{3} + y^{2}$

				$y^{2}$
$y$	+	$1$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$7 y$	-	$6$
			-	$y^{3}$	-	$y^{2}$

Schritt 1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$y^{2}$
$y$	+	$1$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$7 y$	-	$6$
			-	$y^{3}$	-	$y^{2}$
					-	$y^{2}$

Schritt 1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$y^{2}$
$y$	+	$1$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$7 y$	-	$6$
			-	$y^{3}$	-	$y^{2}$
					-	$y^{2}$	-	$7 y$

Schritt 1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- y^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $y$ .

				$y^{2}$	-	$y$
$y$	+	$1$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$7 y$	-	$6$
			-	$y^{3}$	-	$y^{2}$
					-	$y^{2}$	-	$7 y$

Schritt 1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$y^{2}$	-	$y$
$y$	+	$1$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$7 y$	-	$6$
			-	$y^{3}$	-	$y^{2}$
					-	$y^{2}$	-	$7 y$
					-	$y^{2}$	-	$y$

Schritt 1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- y^{2} - y$

				$y^{2}$	-	$y$
$y$	+	$1$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$7 y$	-	$6$
			-	$y^{3}$	-	$y^{2}$
					-	$y^{2}$	-	$7 y$
					+	$y^{2}$	+	$y$

Schritt 1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$y^{2}$	-	$y$
$y$	+	$1$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$7 y$	-	$6$
			-	$y^{3}$	-	$y^{2}$
					-	$y^{2}$	-	$7 y$
					+	$y^{2}$	+	$y$
							-	$6 y$

Schritt 1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$y^{2}$	-	$y$
$y$	+	$1$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$7 y$	-	$6$
			-	$y^{3}$	-	$y^{2}$
					-	$y^{2}$	-	$7 y$
					+	$y^{2}$	+	$y$
							-	$6 y$	-	$6$

Schritt 1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 6 y$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $y$ .

				$y^{2}$	-	$y$	-	$6$
$y$	+	$1$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$7 y$	-	$6$
			-	$y^{3}$	-	$y^{2}$
					-	$y^{2}$	-	$7 y$
					+	$y^{2}$	+	$y$
							-	$6 y$	-	$6$

Schritt 1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$y^{2}$	-	$y$	-	$6$
$y$	+	$1$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$7 y$	-	$6$
			-	$y^{3}$	-	$y^{2}$
					-	$y^{2}$	-	$7 y$
					+	$y^{2}$	+	$y$
							-	$6 y$	-	$6$
							-	$6 y$	-	$6$

Schritt 1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 6 y - 6$

				$y^{2}$	-	$y$	-	$6$
$y$	+	$1$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$7 y$	-	$6$
			-	$y^{3}$	-	$y^{2}$
					-	$y^{2}$	-	$7 y$
					+	$y^{2}$	+	$y$
							-	$6 y$	-	$6$
							+	$6 y$	+	$6$

Schritt 1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$y^{2}$	-	$y$	-	$6$
$y$	+	$1$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$7 y$	-	$6$
			-	$y^{3}$	-	$y^{2}$
					-	$y^{2}$	-	$7 y$
					+	$y^{2}$	+	$y$
							-	$6 y$	-	$6$
							+	$6 y$	+	$6$
										$0$

Schritt 1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$y^{2} - y - 6$

Schritt 1.6

Schreibe $y^{3} - 7 y - 6$ als eine Menge von Faktoren.

$(y + 1) (y^{2} - y - 6)$

Schritt 2

Faktorisiere $y^{2} - y - 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $y^{2} - y - 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 6$ und deren Summe $- 1$ ist.

$- 3, 2$

Schritt 2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(y + 1) ((y - 3) (y + 2))$

Schritt 2.2

Entferne unnötige Klammern.

$(y + 1) (y - 3) (y + 2)$