Grundlegende Mathematik Beispiele

$64 - a^{6}$

Schritt 1

Schreibe $64$ als $4^{3}$ um.

$4^{3} - a^{6}$

Schritt 2

Schreibe $a^{6}$ als ${(a^{2})}^{3}$ um.

$4^{3} - {(a^{2})}^{3}$

Schritt 3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = 4$ und $b = a^{2}$ .

$(4 - a^{2}) (4^{2} + 4 a^{2} + {(a^{2})}^{2})$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$(2^{2} - a^{2}) (4^{2} + 4 a^{2} + {(a^{2})}^{2})$

Schritt 4.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2$ und $b = a$ .

$(2 + a) (2 - a) (4^{2} + 4 a^{2} + {(a^{2})}^{2})$

Schritt 4.3

Potenziere $4$ mit $2$ .

$(2 + a) (2 - a) (16 + 4 a^{2} + {(a^{2})}^{2})$

Schritt 4.4

Multipliziere die Exponenten in ${(a^{2})}^{2}$ .

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Schritt 4.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(2 + a) (2 - a) (16 + 4 a^{2} + a^{2 \cdot 2})$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$(2 + a) (2 - a) (16 + 4 a^{2} + a^{4})$

Schritt 4.5

Faktorisiere.

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Schritt 4.5.1

Schreibe $16 + 4 a^{2} + a^{4}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.5.1.1

Forme den mittleren Term um.

$(2 + a) (2 - a) (16 + 2 \cdot 4 a^{2} - 4 a^{2} + a^{4})$

Schritt 4.5.1.2

Ordne Terme um.

$(2 + a) (2 - a) (16 + 2 \cdot 4 a^{2} + a^{4} - 4 a^{2})$

Schritt 4.5.1.3

Faktorisiere die ersten drei Terme mithilfe der binomischen Formeln.

$(2 + a) (2 - a) ({(4 + a^{2})}^{2} - 4 a^{2})$

Schritt 4.5.1.4

Schreibe $4 a^{2}$ als ${(2 a)}^{2}$ um.

$(2 + a) (2 - a) ({(4 + a^{2})}^{2} - {(2 a)}^{2})$

Schritt 4.5.1.5

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 4 + a^{2}$ und $b = 2 a$ .

$(2 + a) (2 - a) ((4 + a^{2} + 2 a) (4 + a^{2} - (2 a)))$

Schritt 4.5.1.6

Vereinfache.

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Schritt 4.5.1.6.1

Stelle die Terme um.

$(2 + a) (2 - a) ((a^{2} + 2 a + 4) (4 + a^{2} - (2 a)))$

Schritt 4.5.1.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$(2 + a) (2 - a) ((a^{2} + 2 a + 4) (4 + a^{2} - 2 a))$

Schritt 4.5.1.6.3

Stelle die Terme um.

$(2 + a) (2 - a) ((a^{2} + 2 a + 4) (a^{2} - 2 a + 4))$

Schritt 4.5.2

Entferne unnötige Klammern.

$(2 + a) (2 - a) (a^{2} + 2 a + 4) (a^{2} - 2 a + 4)$