Grundlegende Mathematik Beispiele

$3$ , $7$ , $11$ , $15$

Schritt 1

Bestimme den Mittelwert.

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Schritt 1.1

Der Mittelwert einer Menge von Zahlen ist die Summe dividiert durch die Anzahl der Terme.

$\overline{x} = \frac{3 + 7 + 11 + 15}{4}$

Schritt 1.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.1

Addiere $3$ und $7$ .

$\overline{x} = \frac{10 + 11 + 15}{4}$

Schritt 1.2.2

Addiere $10$ und $11$ .

$\overline{x} = \frac{21 + 15}{4}$

Schritt 1.2.3

Addiere $21$ und $15$ .

$\overline{x} = \frac{36}{4}$

Schritt 1.3

Dividiere $36$ durch $4$ .

$\overline{x} = 9$

Schritt 2

Vereinfache jeden Wert in der Liste.

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Schritt 2.1

Wandle $3$ in eine Dezimalzahl um.

$3$

Schritt 2.2

Wandle $7$ in eine Dezimalzahl um.

$7$

Schritt 2.3

Wandle $11$ in eine Dezimalzahl um.

$11$

Schritt 2.4

Wandle $15$ in eine Dezimalzahl um.

$15$

Schritt 2.5

Die vereinfachten Werte sind $3, 7, 11, 15$ .

$3, 7, 11, 15$

Schritt 3

Stelle die Formel für die Standardabweichung der Stichprobe auf. Die Standardabweichung einer Menge von Werten ist ein Maß für die Streuung ihrer Werte.

$s = \sum_{i = 1}^{n} \sqrt{\frac{{(x_{i} - x_{a v g})}^{2}}{n - 1}}$

Schritt 4

Stelle die Formel für die Standardabweichung dieser Menge von Zahlen auf.

$s = \sqrt{\frac{{(3 - 9)}^{2} + {(7 - 9)}^{2} + {(11 - 9)}^{2} + {(15 - 9)}^{2}}{4 - 1}}$

Schritt 5

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $9$ von $3$ .

$s = \sqrt{\frac{{(- 6)}^{2} + {(7 - 9)}^{2} + {(11 - 9)}^{2} + {(15 - 9)}^{2}}{4 - 1}}$

Schritt 5.2

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$s = \sqrt{\frac{36 + {(7 - 9)}^{2} + {(11 - 9)}^{2} + {(15 - 9)}^{2}}{4 - 1}}$

Schritt 5.3

Subtrahiere $9$ von $7$ .

$s = \sqrt{\frac{36 + {(- 2)}^{2} + {(11 - 9)}^{2} + {(15 - 9)}^{2}}{4 - 1}}$

Schritt 5.4

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$s = \sqrt{\frac{36 + 4 + {(11 - 9)}^{2} + {(15 - 9)}^{2}}{4 - 1}}$

Schritt 5.5

Subtrahiere $9$ von $11$ .

$s = \sqrt{\frac{36 + 4 + 2^{2} + {(15 - 9)}^{2}}{4 - 1}}$

Schritt 5.6

Potenziere $2$ mit $2$ .

$s = \sqrt{\frac{36 + 4 + 4 + {(15 - 9)}^{2}}{4 - 1}}$

Schritt 5.7

Subtrahiere $9$ von $15$ .

$s = \sqrt{\frac{36 + 4 + 4 + 6^{2}}{4 - 1}}$

Schritt 5.8

Potenziere $6$ mit $2$ .

$s = \sqrt{\frac{36 + 4 + 4 + 36}{4 - 1}}$

Schritt 5.9

Addiere $36$ und $4$ .

$s = \sqrt{\frac{40 + 4 + 36}{4 - 1}}$

Schritt 5.10

Addiere $40$ und $4$ .

$s = \sqrt{\frac{44 + 36}{4 - 1}}$

Schritt 5.11

Addiere $44$ und $36$ .

$s = \sqrt{\frac{80}{4 - 1}}$

Schritt 5.12

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$s = \sqrt{\frac{80}{3}}$

Schritt 5.13

Schreibe $\sqrt{\frac{80}{3}}$ als $\frac{\sqrt{80}}{\sqrt{3}}$ um.

$s = \frac{\sqrt{80}}{\sqrt{3}}$

Schritt 5.14

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.14.1

Schreibe $80$ als $4^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 5.14.1.1

Faktorisiere $16$ aus $80$ heraus.

$s = \frac{\sqrt{16 (5)}}{\sqrt{3}}$

Schritt 5.14.1.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$s = \frac{\sqrt{4^{2} \cdot 5}}{\sqrt{3}}$

Schritt 5.14.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$s = \frac{4 \sqrt{5}}{\sqrt{3}}$

Schritt 5.15

Mutltipliziere $\frac{4 \sqrt{5}}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$s = \frac{4 \sqrt{5}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Schritt 5.16

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.16.1

Mutltipliziere $\frac{4 \sqrt{5}}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$s = \frac{4 \sqrt{5} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 5.16.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$s = \frac{4 \sqrt{5} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 5.16.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$s = \frac{4 \sqrt{5} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 5.16.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$s = \frac{4 \sqrt{5} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 5.16.5

Addiere $1$ und $1$ .

$s = \frac{4 \sqrt{5} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 5.16.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 5.16.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$s = \frac{4 \sqrt{5} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 5.16.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$s = \frac{4 \sqrt{5} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 5.16.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$s = \frac{4 \sqrt{5} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.16.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.16.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$s = \frac{4 \sqrt{5} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.16.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$s = \frac{4 \sqrt{5} \sqrt{3}}{3}$

Schritt 5.16.6.5

Berechne den Exponenten.

$s = \frac{4 \sqrt{5} \sqrt{3}}{3}$

Schritt 5.17

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.17.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$s = \frac{4 \sqrt{3 \cdot 5}}{3}$

Schritt 5.17.2

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$s = \frac{4 \sqrt{15}}{3}$

Schritt 6

Die Standardabweichung sollte auf eine Nachkommastelle mehr gerundet werden als die ursprünglichen Daten. Wenn die ursprünglichen Daten variierende Genauigkeit hatten, runde auf eine Nachkommastelle mehr, als es den Daten mit der geringsten Genauigkeit entspricht.

$5.2$