Grundlegende Mathematik Beispiele

${(3 y - 1)}^{2} = \frac{y}{2}$

Schritt 1

Multipliziere beide Seiten mit $2$ .

${(3 y - 1)}^{2} \cdot 2 = \frac{y}{2} \cdot 2$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(3 y - 1)}^{2}$ .

$2 {(3 y - 1)}^{2} = \frac{y}{2} \cdot 2$

Schritt 2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 {(3 y - 1)}^{2} = \frac{y}{2} \cdot 2$

Schritt 2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$2 {(3 y - 1)}^{2} = y$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die $y$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 {(3 y - 1)}^{2} - y = 0$

Schritt 3.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1

Schreibe ${(3 y - 1)}^{2}$ als $(3 y - 1) (3 y - 1)$ um.

$2 ((3 y - 1) (3 y - 1)) - y = 0$

Schritt 3.1.2.2

Multipliziere $(3 y - 1) (3 y - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.1.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (3 y (3 y - 1) - 1 (3 y - 1)) - y = 0$

Schritt 3.1.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (3 y (3 y) + 3 y \cdot - 1 - 1 (3 y - 1)) - y = 0$

Schritt 3.1.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (3 y (3 y) + 3 y \cdot - 1 - 1 (3 y) - 1 \cdot - 1) - y = 0$

Schritt 3.1.2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 (3 \cdot 3 y \cdot y + 3 y \cdot - 1 - 1 (3 y) - 1 \cdot - 1) - y = 0$

Schritt 3.1.2.3.1.2

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1.2.3.1.2.1

Bewege $y$ .

$2 (3 \cdot 3 (y \cdot y) + 3 y \cdot - 1 - 1 (3 y) - 1 \cdot - 1) - y = 0$

Schritt 3.1.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$2 (3 \cdot 3 y^{2} + 3 y \cdot - 1 - 1 (3 y) - 1 \cdot - 1) - y = 0$

Schritt 3.1.2.3.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$2 (9 y^{2} + 3 y \cdot - 1 - 1 (3 y) - 1 \cdot - 1) - y = 0$

Schritt 3.1.2.3.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$2 (9 y^{2} - 3 y - 1 (3 y) - 1 \cdot - 1) - y = 0$

Schritt 3.1.2.3.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$2 (9 y^{2} - 3 y - 3 y - 1 \cdot - 1) - y = 0$

Schritt 3.1.2.3.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$2 (9 y^{2} - 3 y - 3 y + 1) - y = 0$

Schritt 3.1.2.3.2

Subtrahiere $3 y$ von $- 3 y$ .

$2 (9 y^{2} - 6 y + 1) - y = 0$

Schritt 3.1.2.4

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (9 y^{2}) + 2 (- 6 y) + 2 \cdot 1 - y = 0$

Schritt 3.1.2.5

Vereinfache.

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Schritt 3.1.2.5.1

Mutltipliziere $9$ mit $2$ .

$18 y^{2} + 2 (- 6 y) + 2 \cdot 1 - y = 0$

Schritt 3.1.2.5.2

Mutltipliziere $- 6$ mit $2$ .

$18 y^{2} - 12 y + 2 \cdot 1 - y = 0$

Schritt 3.1.2.5.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$18 y^{2} - 12 y + 2 - y = 0$

Schritt 3.1.3

Subtrahiere $y$ von $- 12 y$ .

$18 y^{2} - 13 y + 2 = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 18 \cdot 2 = 36$ und deren Summe gleich $b = - 13$ ist.

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Schritt 3.2.1.1

Faktorisiere $- 13$ aus $- 13 y$ heraus.

$18 y^{2} - 13 y + 2 = 0$

Schritt 3.2.1.2

Schreibe $- 13$ um als $- 4$ plus $- 9$

$18 y^{2} + (- 4 - 9) y + 2 = 0$

Schritt 3.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$18 y^{2} - 4 y - 9 y + 2 = 0$

Schritt 3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(18 y^{2} - 4 y) - 9 y + 2 = 0$

Schritt 3.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$2 y (9 y - 2) - (9 y - 2) = 0$

Schritt 3.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $9 y - 2$ .

$(9 y - 2) (2 y - 1) = 0$

Schritt 3.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$9 y - 2 = 0$

$2 y - 1 = 0$

Schritt 3.4

Setze $9 y - 2$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.4.1

Setze $9 y - 2$ gleich $0$ .

$9 y - 2 = 0$

Schritt 3.4.2

Löse $9 y - 2 = 0$ nach $y$ auf.

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Schritt 3.4.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$9 y = 2$

Schritt 3.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $9 y = 2$ durch $9$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $9 y = 2$ durch $9$ .

$\frac{9 y}{9} = \frac{2}{9}$

Schritt 3.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 3.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 y}{9} = \frac{2}{9}$

Schritt 3.4.2.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{2}{9}$

Schritt 3.5

Setze $2 y - 1$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze $2 y - 1$ gleich $0$ .

$2 y - 1 = 0$

Schritt 3.5.2

Löse $2 y - 1 = 0$ nach $y$ auf.

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Schritt 3.5.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 y = 1$

Schritt 3.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 y = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 3.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 3.5.2.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{1}{2}$

Schritt 3.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(9 y - 2) (2 y - 1) = 0$ wahr machen.

$y = \frac{2}{9}, \frac{1}{2}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$y = \frac{2}{9}, \frac{1}{2}$

Dezimalform:

$y = 0.\overline{2}, 0.5$