Grundlegende Mathematik Beispiele

$200000 = 100000 {(1 + \frac{8}{100})}^{n}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $100000 {(1 + \frac{8}{100})}^{n} = 200000$ um.

$100000 {(1 + \frac{8}{100})}^{n} = 200000$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{8}{100}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$100000 {(1 + \frac{4 (2)}{100})}^{n} = 200000$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $4$ aus $100$ heraus.

$100000 {(1 + \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 25})}^{n} = 200000$

Schritt 2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$100000 {(1 + \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 25})}^{n} = 200000$

Schritt 2.1.4

Forme den Ausdruck um.

$100000 {(1 + \frac{2}{25})}^{n} = 200000$

Schritt 2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$100000 {(\frac{25}{25} + \frac{2}{25})}^{n} = 200000$

Schritt 2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$100000 {(\frac{25 + 2}{25})}^{n} = 200000$

Schritt 2.4

Addiere $25$ und $2$ .

$100000 {(\frac{27}{25})}^{n} = 200000$

Schritt 3

Teile jeden Ausdruck in $100000 {(\frac{27}{25})}^{n} = 200000$ durch $100000$ und vereinfache.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $100000 {(\frac{27}{25})}^{n} = 200000$ durch $100000$ .

$\frac{100000 {(\frac{27}{25})}^{n}}{100000} = \frac{200000}{100000}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $100000$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{100000 {(\frac{27}{25})}^{n}}{100000} = \frac{200000}{100000}$

Schritt 3.2.1.2

Dividiere ${(\frac{27}{25})}^{n}$ durch $1$ .

${(\frac{27}{25})}^{n} = \frac{200000}{100000}$

Schritt 3.2.2

Wende die Produktregel auf $\frac{27}{25}$ an.

$\frac{27^{n}}{25^{n}} = \frac{200000}{100000}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Dividiere $200000$ durch $100000$ .

$\frac{27^{n}}{25^{n}} = 2$

Schritt 4

Multipliziere beide Seiten mit $25^{n}$ .

$\frac{27^{n}}{25^{n}} \cdot 25^{n} = 2 \cdot 25^{n}$

Schritt 5

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $25^{n}$ .

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Schritt 5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{27^{n}}{25^{n}} \cdot 25^{n} = 2 \cdot 25^{n}$

Schritt 5.1.2

Forme den Ausdruck um.

$27^{n} = 2 \cdot 25^{n}$

Schritt 6

Löse nach $n$ auf.

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Schritt 6.1

Logarithmiere beide Seiten der Gleichung.

$\ln (27^{n}) = \ln (2 \cdot 25^{n})$

Schritt 6.2

Zerlege $\ln (27^{n})$ durch Herausziehen von $n$ aus dem Logarithmus.

$n \ln (27) = \ln (2 \cdot 25^{n})$

Schritt 6.3

Schreibe $\ln (2 \cdot 25^{n})$ als $\ln (2) + \ln (25^{n})$ um.

$n \ln (27) = \ln (2) + \ln (25^{n})$

Schritt 6.4

Zerlege $\ln (25^{n})$ durch Herausziehen von $n$ aus dem Logarithmus.

$n \ln (27) = \ln (2) + n \ln (25)$

Schritt 6.5

Löse die Gleichung nach $n$ auf.

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Schritt 6.5.1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$n \ln (27) - \ln (2) - n \ln (25) = 0$

Schritt 6.5.2

Addiere $\ln (2)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$n \ln (27) - n \ln (25) = \ln (2)$

Schritt 6.5.3

Faktorisiere $n$ aus $n \ln (27) - n \ln (25)$ heraus.

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Schritt 6.5.3.1

Faktorisiere $n$ aus $n \ln (27)$ heraus.

$n (\ln (27)) - n \ln (25) = \ln (2)$

Schritt 6.5.3.2

Faktorisiere $n$ aus $- n \ln (25)$ heraus.

$n (\ln (27)) + n (- 1 \ln (25)) = \ln (2)$

Schritt 6.5.3.3

Faktorisiere $n$ aus $n (\ln (27)) + n (- 1 \ln (25))$ heraus.

$n (\ln (27) - 1 \ln (25)) = \ln (2)$

Schritt 6.5.4

Schreibe $- 1 \ln (25)$ als $- \ln (25)$ um.

$n (\ln (27) - \ln (25)) = \ln (2)$

Schritt 6.5.5

Teile jeden Ausdruck in $n (\ln (27) - \ln (25)) = \ln (2)$ durch $\ln (27) - \ln (25)$ und vereinfache.

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Schritt 6.5.5.1

Teile jeden Ausdruck in $n (\ln (27) - \ln (25)) = \ln (2)$ durch $\ln (27) - \ln (25)$ .

$\frac{n (\ln (27) - \ln (25))}{\ln (27) - \ln (25)} = \frac{\ln (2)}{\ln (27) - \ln (25)}$

Schritt 6.5.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.5.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (27) - \ln (25)$ .

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Schritt 6.5.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{n (\ln (27) - \ln (25))}{\ln (27) - \ln (25)} = \frac{\ln (2)}{\ln (27) - \ln (25)}$

Schritt 6.5.5.2.1.2

Dividiere $n$ durch $1$ .

$n = \frac{\ln (2)}{\ln (27) - \ln (25)}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$n = \frac{\ln (2)}{\ln (27) - \ln (25)}$

Dezimalform:

$n = 9.00646834 \dots$