Grundlegende Mathematik Beispiele

$\frac{y^{2} - 2 y - 8}{5 y^{3} - 3 y^{2}} \cdot \frac{25 y^{3} - 9 y}{4 y - 16}$

Schritt 1

Faktorisiere $y^{2} - 2 y - 8$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 8$ und deren Summe $- 2$ ist.

$- 4, 2$

Schritt 1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(y - 4) (y + 2)}{5 y^{3} - 3 y^{2}} \cdot \frac{25 y^{3} - 9 y}{4 y - 16}$

Schritt 2

Faktorisiere $y^{2}$ aus $5 y^{3} - 3 y^{2}$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $5 y^{3}$ heraus.

$\frac{(y - 4) (y + 2)}{y^{2} (5 y) - 3 y^{2}} \cdot \frac{25 y^{3} - 9 y}{4 y - 16}$

Schritt 2.2

Faktorisiere $y^{2}$ aus $- 3 y^{2}$ heraus.

$\frac{(y - 4) (y + 2)}{y^{2} (5 y) + y^{2} \cdot - 3} \cdot \frac{25 y^{3} - 9 y}{4 y - 16}$

Schritt 2.3

Faktorisiere $y^{2}$ aus $y^{2} (5 y) + y^{2} \cdot - 3$ heraus.

$\frac{(y - 4) (y + 2)}{y^{2} (5 y - 3)} \cdot \frac{25 y^{3} - 9 y}{4 y - 16}$

Schritt 3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $y$ aus $25 y^{3} - 9 y$ heraus.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $y$ aus $25 y^{3}$ heraus.

$\frac{(y - 4) (y + 2)}{y^{2} (5 y - 3)} \cdot \frac{y (25 y^{2}) - 9 y}{4 y - 16}$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $y$ aus $- 9 y$ heraus.

$\frac{(y - 4) (y + 2)}{y^{2} (5 y - 3)} \cdot \frac{y (25 y^{2}) + y \cdot - 9}{4 y - 16}$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $y$ aus $y (25 y^{2}) + y \cdot - 9$ heraus.

$\frac{(y - 4) (y + 2)}{y^{2} (5 y - 3)} \cdot \frac{y (25 y^{2} - 9)}{4 y - 16}$

Schritt 3.2

Schreibe $25 y^{2}$ als ${(5 y)}^{2}$ um.

$\frac{(y - 4) (y + 2)}{y^{2} (5 y - 3)} \cdot \frac{y ({(5 y)}^{2} - 9)}{4 y - 16}$

Schritt 3.3

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{(y - 4) (y + 2)}{y^{2} (5 y - 3)} \cdot \frac{y ({(5 y)}^{2} - 3^{2})}{4 y - 16}$

Schritt 3.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 5 y$ und $b = 3$ .

$\frac{(y - 4) (y + 2)}{y^{2} (5 y - 3)} \cdot \frac{y (5 y + 3) (5 y - 3)}{4 y - 16}$

Schritt 4

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $4$ aus $4 y - 16$ heraus.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 y$ heraus.

$\frac{(y - 4) (y + 2)}{y^{2} (5 y - 3)} \cdot \frac{y (5 y + 3) (5 y - 3)}{4 (y) - 16}$

Schritt 4.1.2

Faktorisiere $4$ aus $- 16$ heraus.

$\frac{(y - 4) (y + 2)}{y^{2} (5 y - 3)} \cdot \frac{y (5 y + 3) (5 y - 3)}{4 y + 4 \cdot - 4}$

Schritt 4.1.3

Faktorisiere $4$ aus $4 y + 4 \cdot - 4$ heraus.

$\frac{(y - 4) (y + 2)}{y^{2} (5 y - 3)} \cdot \frac{y (5 y + 3) (5 y - 3)}{4 (y - 4)}$

Schritt 4.2

Kombinieren.

$\frac{(y - 4) (y + 2) (y (5 y + 3) (5 y - 3))}{y^{2} (5 y - 3) (4 (y - 4))}$

Schritt 4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y - 4$ .

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Schritt 4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(y - 4) (y + 2) (y (5 y + 3) (5 y - 3))}{y^{2} (5 y - 3) (4 (y - 4))}$

Schritt 4.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(y + 2) (y (5 y + 3) (5 y - 3))}{y^{2} (5 y - 3) \cdot (4)}$

Schritt 4.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y$ und $y^{2}$ .

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Schritt 4.4.1

Faktorisiere $y$ aus $(y + 2) (y (5 y + 3) (5 y - 3))$ heraus.

$\frac{y ((y + 2) ((5 y + 3) (5 y - 3)))}{y^{2} (5 y - 3) \cdot (4)}$

Schritt 4.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.4.2.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{2} (5 y - 3) \cdot (4)$ heraus.

$\frac{y ((y + 2) ((5 y + 3) (5 y - 3)))}{y ((y (5 y - 3)) \cdot 4)}$

Schritt 4.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y ((y + 2) ((5 y + 3) (5 y - 3)))}{y ((y (5 y - 3)) \cdot 4)}$

Schritt 4.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(y + 2) ((5 y + 3) (5 y - 3))}{(y (5 y - 3)) \cdot 4}$

Schritt 4.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5 y - 3$ .

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Schritt 4.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(y + 2) ((5 y + 3) (5 y - 3))}{y (5 y - 3) \cdot 4}$

Schritt 4.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(y + 2) (5 y + 3)}{(y) \cdot 4}$

Schritt 4.6

Bringe $4$ auf die linke Seite von $y$ .

$\frac{(y + 2) (5 y + 3)}{4 y}$