Grundlegende Mathematik Beispiele

sin (\frac{π}{2} + θ) = - tan (θ)

$\sin (\frac{π}{2} + θ) = - \tan (θ)$

Schritt 1

Wende die Summenformel für den Sinus an, um den Ausdruck zu vereinfachen. Die Formel besagt, dass

sin (A + B) = sin (A) cos (B) + cos (A) sin (B)

$\sin (A + B) = \sin (A) \cos (B) + \cos (A) \sin (B)$ .

sin (\frac{π}{2}) cos (θ) + cos (\frac{π}{2}) sin (θ) = - tan (θ)

$\sin (\frac{π}{2}) \cos (θ) + \cos (\frac{π}{2}) \sin (θ) = - \tan (θ)$

Schritt 2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1

Vereinfache

sin (\frac{π}{2}) cos (θ) + cos (\frac{π}{2}) sin (θ)

$\sin (\frac{π}{2}) \cos (θ) + \cos (\frac{π}{2}) \sin (θ)$ .

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Schritt 2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.1

Der genau Wert von

sin (\frac{π}{2})

$\sin (\frac{π}{2})$ ist

1

$1$ .

1 cos (θ) + cos (\frac{π}{2}) sin (θ) = - tan (θ)

$1 \cos (θ) + \cos (\frac{π}{2}) \sin (θ) = - \tan (θ)$

Schritt 2.1.1.2

Mutltipliziere

cos (θ)

$\cos (θ)$ mit

1

$1$ .

cos (θ) + cos (\frac{π}{2}) sin (θ) = - tan (θ)

$\cos (θ) + \cos (\frac{π}{2}) \sin (θ) = - \tan (θ)$

Schritt 2.1.1.3

Der genau Wert von

cos (\frac{π}{2})

$\cos (\frac{π}{2})$ ist

0

$0$ .

cos (θ) + 0 sin (θ) = - tan (θ)

$\cos (θ) + 0 \sin (θ) = - \tan (θ)$

Schritt 2.1.1.4

Mutltipliziere

0

$0$ mit

sin (θ)

$\sin (θ)$ .

cos (θ) + 0 = - tan (θ)

$\cos (θ) + 0 = - \tan (θ)$

cos (θ) + 0 = - tan (θ)

$\cos (θ) + 0 = - \tan (θ)$

Schritt 2.1.2

Addiere

cos (θ)

$\cos (θ)$ und

0

$0$ .

cos (θ) = - tan (θ)

$\cos (θ) = - \tan (θ)$

cos (θ) = - tan (θ)

$\cos (θ) = - \tan (θ)$

cos (θ) = - tan (θ)

$\cos (θ) = - \tan (θ)$

Schritt 3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1

Schreibe

tan (θ)

$\tan (θ)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

cos (θ) = - \frac{sin (θ)}{cos (θ)}

$\cos (θ) = - \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$

cos (θ) = - \frac{sin (θ)}{cos (θ)}

$\cos (θ) = - \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$

Schritt 4

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit

cos (θ)

$\cos (θ)$ .

cos (θ) cos (θ) = cos (θ) (- \frac{sin (θ)}{cos (θ)})

$\cos (θ) \cos (θ) = \cos (θ) (- \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})$

Schritt 5

Multipliziere

cos (θ) cos (θ)

$\cos (θ) \cos (θ)$ .

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Schritt 5.1

Potenziere

cos (θ)

$\cos (θ)$ mit

1

$1$ .

{cos}^{1} (θ) cos (θ) = cos (θ) (- \frac{sin (θ)}{cos (θ)})

$\cos^{1} (θ) \cos (θ) = \cos (θ) (- \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})$

Schritt 5.2

Potenziere

cos (θ)

$\cos (θ)$ mit

1

$1$ .

{cos}^{1} (θ) {cos}^{1} (θ) = cos (θ) (- \frac{sin (θ)}{cos (θ)})

$\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ) = \cos (θ) (- \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})$

Schritt 5.3

Wende die Exponentenregel

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

{cos (θ)}^{1 + 1} = cos (θ) (- \frac{sin (θ)}{cos (θ)})

${\cos (θ)}^{1 + 1} = \cos (θ) (- \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})$

Schritt 5.4

Addiere

1

$1$ und

1

$1$ .

{cos}^{2} (θ) = cos (θ) (- \frac{sin (θ)}{cos (θ)})

$\cos^{2} (θ) = \cos (θ) (- \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})$

{cos}^{2} (θ) = cos (θ) (- \frac{sin (θ)}{cos (θ)})

$\cos^{2} (θ) = \cos (θ) (- \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})$

Schritt 6

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

{cos}^{2} (θ) = - cos (θ) \frac{sin (θ)}{cos (θ)}

$\cos^{2} (θ) = - \cos (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$

Schritt 7

Kürze den gemeinsamen Faktor von

cos (θ)

$\cos (θ)$ .

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Schritt 7.1

Faktorisiere

cos (θ)

$\cos (θ)$ aus

- cos (θ)

$- \cos (θ)$ heraus.

{cos}^{2} (θ) = cos (θ) \cdot - 1 \frac{sin (θ)}{cos (θ)}

$\cos^{2} (θ) = \cos (θ) \cdot - 1 \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$

Schritt 7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos^{2} (θ) = \cos (θ) \cdot - 1 \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$

Schritt 7.3

Forme den Ausdruck um.

$\cos^{2} (θ) = - \sin (θ)$

Schritt 8

Addiere

$\sin (θ)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\cos^{2} (θ) + \sin (θ) = 0$

Schritt 9

Ersetze

$\cos^{2} (θ)$ durch

$1 - \sin^{2} (θ)$ .

$(1 - \sin^{2} (θ)) + \sin (θ) = 0$

Schritt 10

Löse nach

$θ$ auf.

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Schritt 10.1

Ersetze

$\sin (θ)$ durch

$u$ .

$1 - {(u)}^{2} + u = 0$

Schritt 10.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 10.3

Setze die Werte

$a = - 1$ ,

$b = 1$ und

$c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach

$u$ auf.

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot 1)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 10.4

Vereinfache.

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Schritt 10.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.4.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 10.4.1.2

Multipliziere

$- 4 \cdot - 1 \cdot 1$ .

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Schritt 10.4.1.2.1

Mutltipliziere

$- 4$ mit

$- 1$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 10.4.1.2.2

Mutltipliziere

$4$ mit

$1$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 10.4.1.3

Addiere

$1$ und

$4$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 10.4.2

Mutltipliziere

$2$ mit

$- 1$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{- 2}$

Schritt 10.4.3

Vereinfache

$\frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{- 2}$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Schritt 10.5

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$u = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Schritt 10.6

Ersetze

$u$ durch

$\sin (θ)$ .

$\sin (θ) = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Schritt 10.7

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach

$θ$ aufzulösen.

$\sin (θ) = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

$\sin (θ) = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Schritt 10.8

Löse in

$\sin (θ) = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ nach

$θ$ auf.

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Schritt 10.8.1

Der Wertebereich des Sinus ist

$- 1 \leq y \leq 1$ . Da

$\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ nicht in diesen Bereich fällt, gibt es keine Lösung.

Keine Lösung

Schritt 10.9

Löse in

$\sin (θ) = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ nach

$θ$ auf.

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Schritt 10.9.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um

$θ$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$θ = \arcsin (\frac{1 - \sqrt{5}}{2})$

Schritt 10.9.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.9.2.1

Berechne

$\arcsin (\frac{1 - \sqrt{5}}{2})$ .

$θ = - 0.66623943$

Schritt 10.9.3

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von

$π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$θ = (3.14159265) + 0.66623943$

Schritt 10.9.4

Löse nach

$θ$ auf.

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Schritt 10.9.4.1

Entferne die Klammern.

$θ = 3.14159265 + 0.66623943$

Schritt 10.9.4.2

Entferne die Klammern.

$θ = (3.14159265) + 0.66623943$

Schritt 10.9.4.3

Addiere

$3.14159265$ und

$0.66623943$ .

$θ = 3.80783208$

Schritt 10.9.5

Ermittele die Periode von

$\sin (θ)$ .

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Schritt 10.9.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von

$\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 10.9.5.2

Ersetze

$b$ durch

$1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 10.9.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen

$0$ und

$1$ ist

$1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 10.9.5.4

Dividiere

$2 π$ durch

$1$ .

$2 π$

Schritt 10.9.6

Addiere

$2 π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 10.9.6.1

Addiere

$2 π$ zu

$- 0.66623943$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- 0.66623943 + 2 π$

Schritt 10.9.6.2

Subtrahiere

$0.66623943$ von

$2 π$ .

$5.61694587$

Schritt 10.9.6.3

Liste die neuen Winkel auf.

$θ = 5.61694587$

Schritt 10.9.7

Die Periode der Funktion

$\sin (θ)$ ist

$2 π$ , d. h., Werte werden sich alle

$2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$θ = 3.80783208 + 2 π n, 5.61694587 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl

$n$

$θ = 3.80783208 + 2 π n, 5.61694587 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl

$n$

Schritt 10.10

Liste alle Lösungen auf.

$θ = 3.80783208 + 2 π n, 5.61694587 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl

$n$

$θ = 3.80783208 + 2 π n, 5.61694587 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl

$n$