Grundlegende Mathematik Beispiele

$\frac{8 p^{3} + 1}{4 p^{3} + 20 p^{2} - p - 5}$

Schritt 1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1

Schreibe $8 p^{3}$ als ${(2 p)}^{3}$ um.

$\frac{{(2 p)}^{3} + 1}{4 p^{3} + 20 p^{2} - p - 5}$

Schritt 1.2

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$\frac{{(2 p)}^{3} + 1^{3}}{4 p^{3} + 20 p^{2} - p - 5}$

Schritt 1.3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = 2 p$ und $b = 1$ .

$\frac{(2 p + 1) ({(2 p)}^{2} - (2 p) \cdot 1 + 1^{2})}{4 p^{3} + 20 p^{2} - p - 5}$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Wende die Produktregel auf $2 p$ an.

$\frac{(2 p + 1) (2^{2} p^{2} - (2 p) \cdot 1 + 1^{2})}{4 p^{3} + 20 p^{2} - p - 5}$

Schritt 1.4.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{(2 p + 1) (4 p^{2} - (2 p) \cdot 1 + 1^{2})}{4 p^{3} + 20 p^{2} - p - 5}$

Schritt 1.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{(2 p + 1) (4 p^{2} - 2 p \cdot 1 + 1^{2})}{4 p^{3} + 20 p^{2} - p - 5}$

Schritt 1.4.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{(2 p + 1) (4 p^{2} - 2 p + 1^{2})}{4 p^{3} + 20 p^{2} - p - 5}$

Schritt 1.4.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{(2 p + 1) (4 p^{2} - 2 p + 1)}{4 p^{3} + 20 p^{2} - p - 5}$

Schritt 2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(2 p + 1) (4 p^{2} - 2 p + 1)}{(4 p^{3} + 20 p^{2}) - p - 5}$

Schritt 2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{(2 p + 1) (4 p^{2} - 2 p + 1)}{4 p^{2} (p + 5) - (p + 5)}$

Schritt 2.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $p + 5$ .

$\frac{(2 p + 1) (4 p^{2} - 2 p + 1)}{(p + 5) (4 p^{2} - 1)}$

Schritt 2.3

Schreibe $4 p^{2}$ als ${(2 p)}^{2}$ um.

$\frac{(2 p + 1) (4 p^{2} - 2 p + 1)}{(p + 5) ({(2 p)}^{2} - 1)}$

Schritt 2.4

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{(2 p + 1) (4 p^{2} - 2 p + 1)}{(p + 5) ({(2 p)}^{2} - 1^{2})}$

Schritt 2.5

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2 p$ und $b = 1$ .

$\frac{(2 p + 1) (4 p^{2} - 2 p + 1)}{(p + 5) (2 p + 1) (2 p - 1)}$

Schritt 3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 p + 1$ .

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(2 p + 1) (4 p^{2} - 2 p + 1)}{(p + 5) (2 p + 1) (2 p - 1)}$

Schritt 3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 p^{2} - 2 p + 1}{(p + 5) (2 p - 1)}$