Grundlegende Mathematik Beispiele

$\frac{2 c^{2} + 7 c - 15}{27 - 18 c} \div \frac{c^{4} + c^{3} - 20 c^{2}}{6 c^{3} - 96 c}$

Schritt 1

Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.

$\frac{2 c^{2} + 7 c - 15}{27 - 18 c} \cdot \frac{6 c^{3} - 96 c}{c^{4} + c^{3} - 20 c^{2}}$

Schritt 2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 15 = - 30$ und deren Summe gleich $b = 7$ ist.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $7$ aus $7 c$ heraus.

$\frac{2 c^{2} + 7 (c) - 15}{27 - 18 c} \cdot \frac{6 c^{3} - 96 c}{c^{4} + c^{3} - 20 c^{2}}$

Schritt 2.1.2

Schreibe $7$ um als $- 3$ plus $10$

$\frac{2 c^{2} + (- 3 + 10) c - 15}{27 - 18 c} \cdot \frac{6 c^{3} - 96 c}{c^{4} + c^{3} - 20 c^{2}}$

Schritt 2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 c^{2} - 3 c + 10 c - 15}{27 - 18 c} \cdot \frac{6 c^{3} - 96 c}{c^{4} + c^{3} - 20 c^{2}}$

Schritt 2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(2 c^{2} - 3 c) + 10 c - 15}{27 - 18 c} \cdot \frac{6 c^{3} - 96 c}{c^{4} + c^{3} - 20 c^{2}}$

Schritt 2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{c (2 c - 3) + 5 (2 c - 3)}{27 - 18 c} \cdot \frac{6 c^{3} - 96 c}{c^{4} + c^{3} - 20 c^{2}}$

Schritt 2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 c - 3$ .

$\frac{(2 c - 3) (c + 5)}{27 - 18 c} \cdot \frac{6 c^{3} - 96 c}{c^{4} + c^{3} - 20 c^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $9$ aus $27 - 18 c$ heraus.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $9$ aus $27$ heraus.

$\frac{(2 c - 3) (c + 5)}{9 (3) - 18 c} \cdot \frac{6 c^{3} - 96 c}{c^{4} + c^{3} - 20 c^{2}}$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $9$ aus $- 18 c$ heraus.

$\frac{(2 c - 3) (c + 5)}{9 (3) + 9 (- 2 c)} \cdot \frac{6 c^{3} - 96 c}{c^{4} + c^{3} - 20 c^{2}}$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $9$ aus $9 (3) + 9 (- 2 c)$ heraus.

$\frac{(2 c - 3) (c + 5)}{9 (3 - 2 c)} \cdot \frac{6 c^{3} - 96 c}{c^{4} + c^{3} - 20 c^{2}}$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2 c - 3$ und $3 - 2 c$ .

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $2 c$ heraus.

$\frac{(- (- 2 c) - 3) (c + 5)}{9 (3 - 2 c)} \cdot \frac{6 c^{3} - 96 c}{c^{4} + c^{3} - 20 c^{2}}$

Schritt 3.2.2

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$\frac{(- (- 2 c) - 1 (3)) (c + 5)}{9 (3 - 2 c)} \cdot \frac{6 c^{3} - 96 c}{c^{4} + c^{3} - 20 c^{2}}$

Schritt 3.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (- 2 c) - 1 (3)$ heraus.

$\frac{- (- 2 c + 3) (c + 5)}{9 (3 - 2 c)} \cdot \frac{6 c^{3} - 96 c}{c^{4} + c^{3} - 20 c^{2}}$

Schritt 3.2.4

Schreibe $- (- 2 c + 3)$ als $- 1 (- 2 c + 3)$ um.

$\frac{- 1 (- 2 c + 3) (c + 5)}{9 (3 - 2 c)} \cdot \frac{6 c^{3} - 96 c}{c^{4} + c^{3} - 20 c^{2}}$

Schritt 3.2.5

Stelle die Terme um.

$\frac{- 1 (- 2 c + 3) (c + 5)}{9 (- 2 c + 3)} \cdot \frac{6 c^{3} - 96 c}{c^{4} + c^{3} - 20 c^{2}}$

Schritt 3.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1 (- 2 c + 3) (c + 5)}{9 (- 2 c + 3)} \cdot \frac{6 c^{3} - 96 c}{c^{4} + c^{3} - 20 c^{2}}$

Schritt 3.2.7

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1 (c + 5)}{9} \cdot \frac{6 c^{3} - 96 c}{c^{4} + c^{3} - 20 c^{2}}$

Schritt 3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{c + 5}{9} \cdot \frac{6 c^{3} - 96 c}{c^{4} + c^{3} - 20 c^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $6 c$ aus $6 c^{3} - 96 c$ heraus.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $6 c$ aus $6 c^{3}$ heraus.

$- \frac{c + 5}{9} \cdot \frac{6 c (c^{2}) - 96 c}{c^{4} + c^{3} - 20 c^{2}}$

Schritt 4.1.2

Faktorisiere $6 c$ aus $- 96 c$ heraus.

$- \frac{c + 5}{9} \cdot \frac{6 c (c^{2}) + 6 c (- 16)}{c^{4} + c^{3} - 20 c^{2}}$

Schritt 4.1.3

Faktorisiere $6 c$ aus $6 c (c^{2}) + 6 c (- 16)$ heraus.

$- \frac{c + 5}{9} \cdot \frac{6 c (c^{2} - 16)}{c^{4} + c^{3} - 20 c^{2}}$

Schritt 4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$- \frac{c + 5}{9} \cdot \frac{6 c (c^{2} - 4^{2})}{c^{4} + c^{3} - 20 c^{2}}$

Schritt 4.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = c$ und $b = 4$ .

$- \frac{c + 5}{9} \cdot \frac{6 c (c + 4) (c - 4)}{c^{4} + c^{3} - 20 c^{2}}$

Schritt 5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $c^{2}$ aus $c^{4} + c^{3} - 20 c^{2}$ heraus.

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $c^{2}$ aus $c^{4}$ heraus.

$- \frac{c + 5}{9} \cdot \frac{6 c (c + 4) (c - 4)}{c^{2} c^{2} + c^{3} - 20 c^{2}}$

Schritt 5.1.2

Faktorisiere $c^{2}$ aus $c^{3}$ heraus.

$- \frac{c + 5}{9} \cdot \frac{6 c (c + 4) (c - 4)}{c^{2} c^{2} + c^{2} c - 20 c^{2}}$

Schritt 5.1.3

Faktorisiere $c^{2}$ aus $- 20 c^{2}$ heraus.

$- \frac{c + 5}{9} \cdot \frac{6 c (c + 4) (c - 4)}{c^{2} c^{2} + c^{2} c + c^{2} \cdot - 20}$

Schritt 5.1.4

Faktorisiere $c^{2}$ aus $c^{2} c^{2} + c^{2} c$ heraus.

$- \frac{c + 5}{9} \cdot \frac{6 c (c + 4) (c - 4)}{c^{2} (c^{2} + c) + c^{2} \cdot - 20}$

Schritt 5.1.5

Faktorisiere $c^{2}$ aus $c^{2} (c^{2} + c) + c^{2} \cdot - 20$ heraus.

$- \frac{c + 5}{9} \cdot \frac{6 c (c + 4) (c - 4)}{c^{2} (c^{2} + c - 20)}$

Schritt 5.2

Faktorisiere $c^{2} + c - 20$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 5.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 20$ und deren Summe $1$ ist.

$- 4, 5$

Schritt 5.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- \frac{c + 5}{9} \cdot \frac{6 c (c + 4) (c - 4)}{c^{2} ((c - 4) (c + 5))}$

$- \frac{c + 5}{9} \cdot \frac{6 c (c + 4) (c - 4)}{c^{2} (c - 4) (c + 5)}$

Schritt 6

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $c + 5$ .

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Schritt 6.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{c + 5}{9}$ in den Zähler.

$\frac{- (c + 5)}{9} \cdot \frac{6 c (c + 4) (c - 4)}{c^{2} (c - 4) (c + 5)}$

Schritt 6.1.2

Faktorisiere $c + 5$ aus $- (c + 5)$ heraus.

$\frac{(c + 5) \cdot - 1}{9} \cdot \frac{6 c (c + 4) (c - 4)}{c^{2} (c - 4) (c + 5)}$

Schritt 6.1.3

Faktorisiere $c + 5$ aus $c^{2} (c - 4) (c + 5)$ heraus.

$\frac{(c + 5) \cdot - 1}{9} \cdot \frac{6 c (c + 4) (c - 4)}{(c + 5) (c^{2} (c - 4))}$

Schritt 6.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(c + 5) \cdot - 1}{9} \cdot \frac{6 c (c + 4) (c - 4)}{(c + 5) (c^{2} (c - 4))}$

Schritt 6.1.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{9} \cdot \frac{6 c (c + 4) (c - 4)}{c^{2} (c - 4)}$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$\frac{- 1}{3 (3)} \cdot \frac{6 c (c + 4) (c - 4)}{c^{2} (c - 4)}$

Schritt 6.2.2

Faktorisiere $3$ aus $6 c (c + 4) (c - 4)$ heraus.

$\frac{- 1}{3 (3)} \cdot \frac{3 (2 c (c + 4) (c - 4))}{c^{2} (c - 4)}$

Schritt 6.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{3 \cdot 3} \cdot \frac{3 (2 c (c + 4) (c - 4))}{c^{2} (c - 4)}$

Schritt 6.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{3} \cdot \frac{2 c (c + 4) (c - 4)}{c^{2} (c - 4)}$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $\frac{- 1}{3}$ mit $\frac{2 c (c + 4) (c - 4)}{c^{2} (c - 4)}$ .

$\frac{- (2 c (c + 4) (c - 4))}{3 (c^{2} (c - 4))}$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{- 2 ((c (c + 4)) (c - 4))}{3 (c^{2} (c - 4))}$

Schritt 6.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $c$ und $c^{2}$ .

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Schritt 6.5.1

Faktorisiere $c$ aus $- 2 ((c (c + 4)) (c - 4))$ heraus.

$\frac{c (- 2 ((c + 4) (c - 4)))}{3 (c^{2} (c - 4))}$

Schritt 6.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.5.2.1

Faktorisiere $c$ aus $3 (c^{2} (c - 4))$ heraus.

$\frac{c (- 2 ((c + 4) (c - 4)))}{c (3 (c (c - 4)))}$

Schritt 6.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{c (- 2 ((c + 4) (c - 4)))}{c (3 (c (c - 4)))}$

Schritt 6.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 2 ((c + 4) (c - 4))}{3 (c (c - 4))}$

Schritt 6.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $c - 4$ .

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Schritt 6.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 ((c + 4) (c - 4))}{3 (c (c - 4))}$

Schritt 6.6.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 2 (c + 4)}{3 (c)}$

Schritt 6.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 (c + 4)}{3 c}$