Algebra Beispiele

$f (x) = \sqrt[3]{8 x} + 4$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \sqrt[3]{8 x} + 4$ als Gleichung.

$y = \sqrt[3]{8 x} + 4$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \sqrt[3]{8 y} + 4$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\sqrt[3]{8 y} + 4 = x$ um.

$\sqrt[3]{8 y} + 4 = x$

Schritt 3.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt[3]{8 y} = x - 4$

Schritt 3.3

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${\sqrt[3]{8 y}}^{3} = {(x - 4)}^{3}$

Schritt 3.4

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{8 y}$ als ${(8 y)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

${({(8 y)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x - 4)}^{3}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Vereinfache ${({(8 y)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(8 y)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.4.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(8 y)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x - 4)}^{3}$

Schritt 3.4.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.4.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(8 y)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x - 4)}^{3}$

Schritt 3.4.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(8 y)}^{1} = {(x - 4)}^{3}$

Schritt 3.4.2.1.2

Vereinfache.

$8 y = {(x - 4)}^{3}$

Schritt 3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.3.1

Vereinfache ${(x - 4)}^{3}$ .

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Schritt 3.4.3.1.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$8 y = x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 4 + 3 x {(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{3}$

Schritt 3.4.3.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$8 y = x^{3} - 12 x^{2} + 3 x {(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{3}$

Schritt 3.4.3.1.2.2

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$8 y = x^{3} - 12 x^{2} + 3 x \cdot 16 + {(- 4)}^{3}$

Schritt 3.4.3.1.2.3

Mutltipliziere $16$ mit $3$ .

$8 y = x^{3} - 12 x^{2} + 48 x + {(- 4)}^{3}$

Schritt 3.4.3.1.2.4

Potenziere $- 4$ mit $3$ .

$8 y = x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64$

Schritt 3.5

Teile jeden Ausdruck in $8 y = x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64$ durch $8$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Teile jeden Ausdruck in $8 y = x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64$ durch $8$ .

$\frac{8 y}{8} = \frac{x^{3}}{8} + \frac{- 12 x^{2}}{8} + \frac{48 x}{8} + \frac{- 64}{8}$

Schritt 3.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 3.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 y}{8} = \frac{x^{3}}{8} + \frac{- 12 x^{2}}{8} + \frac{48 x}{8} + \frac{- 64}{8}$

Schritt 3.5.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{8} + \frac{- 12 x^{2}}{8} + \frac{48 x}{8} + \frac{- 64}{8}$

Schritt 3.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 12$ und $8$ .

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Schritt 3.5.3.1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $- 12 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{x^{3}}{8} + \frac{4 (- 3 x^{2})}{8} + \frac{48 x}{8} + \frac{- 64}{8}$

Schritt 3.5.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.5.3.1.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$y = \frac{x^{3}}{8} + \frac{4 (- 3 x^{2})}{4 (2)} + \frac{48 x}{8} + \frac{- 64}{8}$

Schritt 3.5.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{x^{3}}{8} + \frac{4 (- 3 x^{2})}{4 \cdot 2} + \frac{48 x}{8} + \frac{- 64}{8}$

Schritt 3.5.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{x^{3}}{8} + \frac{- 3 x^{2}}{2} + \frac{48 x}{8} + \frac{- 64}{8}$

Schritt 3.5.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{48 x}{8} + \frac{- 64}{8}$

Schritt 3.5.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $48$ und $8$ .

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Schritt 3.5.3.1.3.1

Faktorisiere $8$ aus $48 x$ heraus.

$y = \frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{8 (6 x)}{8} + \frac{- 64}{8}$

Schritt 3.5.3.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.5.3.1.3.2.1

Faktorisiere $8$ aus $8$ heraus.

$y = \frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{8 (6 x)}{8 (1)} + \frac{- 64}{8}$

Schritt 3.5.3.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{8 (6 x)}{8 \cdot 1} + \frac{- 64}{8}$

Schritt 3.5.3.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{6 x}{1} + \frac{- 64}{8}$

Schritt 3.5.3.1.3.2.4

Dividiere $6 x$ durch $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x + \frac{- 64}{8}$

Schritt 3.5.3.1.4

Dividiere $- 64$ durch $8$ .

$y = \frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \sqrt[3]{8 x} + 4$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = \frac{{(\sqrt[3]{8 x} + 4)}^{3}}{8} - \frac{3 {(\sqrt[3]{8 x} + 4)}^{2}}{2} + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{8 x}$ als ${(8 x)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = \frac{{({(8 x)}^{\frac{1}{3}} + 4)}^{3}}{8} - \frac{3 {(\sqrt[3]{8 x} + 4)}^{2}}{2} + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

Schritt 5.2.3.1.2

Wende die Produktregel auf $8 x$ an.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = \frac{{(8^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} + 4)}^{3}}{8} - \frac{3 {(\sqrt[3]{8 x} + 4)}^{2}}{2} + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

Schritt 5.2.3.1.3

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = \frac{{({(2^{3})}^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} + 4)}^{3}}{8} - \frac{3 {(\sqrt[3]{8 x} + 4)}^{2}}{2} + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

Schritt 5.2.3.1.4

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = \frac{{(2^{3 (\frac{1}{3})} x^{\frac{1}{3}} + 4)}^{3}}{8} - \frac{3 {(\sqrt[3]{8 x} + 4)}^{2}}{2} + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

Schritt 5.2.3.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.3.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = \frac{{(2^{3 (\frac{1}{3})} x^{\frac{1}{3}} + 4)}^{3}}{8} - \frac{3 {(\sqrt[3]{8 x} + 4)}^{2}}{2} + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

Schritt 5.2.3.1.5.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = \frac{{(2 x^{\frac{1}{3}} + 4)}^{3}}{8} - \frac{3 {(\sqrt[3]{8 x} + 4)}^{2}}{2} + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

Schritt 5.2.3.1.6

Berechne den Exponenten.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = \frac{{(2 x^{\frac{1}{3}} + 4)}^{3}}{8} - \frac{3 {(\sqrt[3]{8 x} + 4)}^{2}}{2} + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

Schritt 5.2.3.1.7

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{\frac{1}{3}} + 4$ heraus.

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Schritt 5.2.3.1.7.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{\frac{1}{3}}$ heraus.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = \frac{{(2 (x^{\frac{1}{3}}) + 4)}^{3}}{8} - \frac{3 {(\sqrt[3]{8 x} + 4)}^{2}}{2} + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

Schritt 5.2.3.1.7.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = \frac{{(2 x^{\frac{1}{3}} + 2 \cdot 2)}^{3}}{8} - \frac{3 {(\sqrt[3]{8 x} + 4)}^{2}}{2} + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

Schritt 5.2.3.1.7.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{\frac{1}{3}} + 2 \cdot 2$ heraus.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = \frac{{(2 (x^{\frac{1}{3}} + 2))}^{3}}{8} - \frac{3 {(\sqrt[3]{8 x} + 4)}^{2}}{2} + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

Schritt 5.2.3.1.8

Wende die Produktregel auf $2 (x^{\frac{1}{3}} + 2)$ an.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = \frac{2^{3} {(x^{\frac{1}{3}} + 2)}^{3}}{8} - \frac{3 {(\sqrt[3]{8 x} + 4)}^{2}}{2} + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

Schritt 5.2.3.1.9

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = \frac{8 {(x^{\frac{1}{3}} + 2)}^{3}}{8} - \frac{3 {(\sqrt[3]{8 x} + 4)}^{2}}{2} + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

Schritt 5.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = \frac{8 {(x^{\frac{1}{3}} + 2)}^{3}}{8} - \frac{3 {(\sqrt[3]{8 x} + 4)}^{2}}{2} + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

Schritt 5.2.3.3

Dividiere ${(x^{\frac{1}{3}} + 2)}^{3}$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = {(x^{\frac{1}{3}} + 2)}^{3} - \frac{3 {(\sqrt[3]{8 x} + 4)}^{2}}{2} + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

Schritt 5.2.3.4

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} + 3 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot 2 + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{2} + 2^{3} - \frac{3 {(\sqrt[3]{8 x} + 4)}^{2}}{2} + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

Schritt 5.2.3.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.5.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 5.2.3.5.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 3 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot 2 + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{2} + 2^{3} - \frac{3 {(\sqrt[3]{8 x} + 4)}^{2}}{2} + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

Schritt 5.2.3.5.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.3.5.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 3 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot 2 + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{2} + 2^{3} - \frac{3 {(\sqrt[3]{8 x} + 4)}^{2}}{2} + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

Schritt 5.2.3.5.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 3 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot 2 + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{2} + 2^{3} - \frac{3 {(\sqrt[3]{8 x} + 4)}^{2}}{2} + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

Schritt 5.2.3.5.2

Vereinfache.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 3 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot 2 + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{2} + 2^{3} - \frac{3 {(\sqrt[3]{8 x} + 4)}^{2}}{2} + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

Schritt 5.2.3.5.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.3.5.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 3 x^{\frac{1}{3} \cdot 2} \cdot 2 + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{2} + 2^{3} - \frac{3 {(\sqrt[3]{8 x} + 4)}^{2}}{2} + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

Schritt 5.2.3.5.3.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} \cdot 2 + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{2} + 2^{3} - \frac{3 {(\sqrt[3]{8 x} + 4)}^{2}}{2} + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

Schritt 5.2.3.5.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 6 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{2} + 2^{3} - \frac{3 {(\sqrt[3]{8 x} + 4)}^{2}}{2} + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

Schritt 5.2.3.5.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 6 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot 4 + 2^{3} - \frac{3 {(\sqrt[3]{8 x} + 4)}^{2}}{2} + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

Schritt 5.2.3.5.6

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 6 x^{\frac{2}{3}} + 12 x^{\frac{1}{3}} + 2^{3} - \frac{3 {(\sqrt[3]{8 x} + 4)}^{2}}{2} + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

Schritt 5.2.3.5.7

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 6 x^{\frac{2}{3}} + 12 x^{\frac{1}{3}} + 8 - \frac{3 {(\sqrt[3]{8 x} + 4)}^{2}}{2} + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

Schritt 5.2.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{8 x}$ als ${(8 x)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 6 x^{\frac{2}{3}} + 12 x^{\frac{1}{3}} + 8 - \frac{3 {({(8 x)}^{\frac{1}{3}} + 4)}^{2}}{2} + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

Schritt 5.2.3.6.2

Wende die Produktregel auf $8 x$ an.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 6 x^{\frac{2}{3}} + 12 x^{\frac{1}{3}} + 8 - \frac{3 {(8^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} + 4)}^{2}}{2} + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

Schritt 5.2.3.6.3

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 6 x^{\frac{2}{3}} + 12 x^{\frac{1}{3}} + 8 - \frac{3 {({(2^{3})}^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} + 4)}^{2}}{2} + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

Schritt 5.2.3.6.4

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 6 x^{\frac{2}{3}} + 12 x^{\frac{1}{3}} + 8 - \frac{3 {(2^{3 (\frac{1}{3})} x^{\frac{1}{3}} + 4)}^{2}}{2} + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

Schritt 5.2.3.6.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.3.6.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 6 x^{\frac{2}{3}} + 12 x^{\frac{1}{3}} + 8 - \frac{3 {(2^{3 (\frac{1}{3})} x^{\frac{1}{3}} + 4)}^{2}}{2} + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

Schritt 5.2.3.6.5.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 6 x^{\frac{2}{3}} + 12 x^{\frac{1}{3}} + 8 - \frac{3 {(2 x^{\frac{1}{3}} + 4)}^{2}}{2} + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

Schritt 5.2.3.6.6

Berechne den Exponenten.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 6 x^{\frac{2}{3}} + 12 x^{\frac{1}{3}} + 8 - \frac{3 {(2 x^{\frac{1}{3}} + 4)}^{2}}{2} + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

Schritt 5.2.3.6.7

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{\frac{1}{3}} + 4$ heraus.

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Schritt 5.2.3.6.7.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{\frac{1}{3}}$ heraus.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 6 x^{\frac{2}{3}} + 12 x^{\frac{1}{3}} + 8 - \frac{3 {(2 (x^{\frac{1}{3}}) + 4)}^{2}}{2} + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

Schritt 5.2.3.6.7.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 6 x^{\frac{2}{3}} + 12 x^{\frac{1}{3}} + 8 - \frac{3 {(2 x^{\frac{1}{3}} + 2 \cdot 2)}^{2}}{2} + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

Schritt 5.2.3.6.7.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{\frac{1}{3}} + 2 \cdot 2$ heraus.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 6 x^{\frac{2}{3}} + 12 x^{\frac{1}{3}} + 8 - \frac{3 {(2 (x^{\frac{1}{3}} + 2))}^{2}}{2} + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

Schritt 5.2.3.6.8

Wende die Produktregel auf $2 (x^{\frac{1}{3}} + 2)$ an.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 6 x^{\frac{2}{3}} + 12 x^{\frac{1}{3}} + 8 - \frac{3 \cdot (2^{2} {(x^{\frac{1}{3}} + 2)}^{2})}{2} + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

Schritt 5.2.3.6.9

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 6 x^{\frac{2}{3}} + 12 x^{\frac{1}{3}} + 8 - \frac{3 \cdot (4 {(x^{\frac{1}{3}} + 2)}^{2})}{2} + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

Schritt 5.2.3.6.10

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 6 x^{\frac{2}{3}} + 12 x^{\frac{1}{3}} + 8 - \frac{12 {(x^{\frac{1}{3}} + 2)}^{2}}{2} + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

Schritt 5.2.3.7

Faktorisiere $2$ aus $12 {(x^{\frac{1}{3}} + 2)}^{2}$ heraus.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 6 x^{\frac{2}{3}} + 12 x^{\frac{1}{3}} + 8 - \frac{2 (6 {(x^{\frac{1}{3}} + 2)}^{2})}{2} + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

Schritt 5.2.3.8

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.8.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 6 x^{\frac{2}{3}} + 12 x^{\frac{1}{3}} + 8 - \frac{2 (6 {(x^{\frac{1}{3}} + 2)}^{2})}{2 (1)} + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

Schritt 5.2.3.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 6 x^{\frac{2}{3}} + 12 x^{\frac{1}{3}} + 8 - \frac{2 (6 {(x^{\frac{1}{3}} + 2)}^{2})}{2 \cdot 1} + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

Schritt 5.2.3.8.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 6 x^{\frac{2}{3}} + 12 x^{\frac{1}{3}} + 8 - \frac{6 {(x^{\frac{1}{3}} + 2)}^{2}}{1} + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

Schritt 5.2.3.8.4

Dividiere $6 {(x^{\frac{1}{3}} + 2)}^{2}$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 6 x^{\frac{2}{3}} + 12 x^{\frac{1}{3}} + 8 - (6 {(x^{\frac{1}{3}} + 2)}^{2}) + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

Schritt 5.2.3.9

Schreibe ${(x^{\frac{1}{3}} + 2)}^{2}$ als $(x^{\frac{1}{3}} + 2) (x^{\frac{1}{3}} + 2)$ um.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 6 x^{\frac{2}{3}} + 12 x^{\frac{1}{3}} + 8 - (6 ((x^{\frac{1}{3}} + 2) (x^{\frac{1}{3}} + 2))) + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

Schritt 5.2.3.10

Multipliziere $(x^{\frac{1}{3}} + 2) (x^{\frac{1}{3}} + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.2.3.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 6 x^{\frac{2}{3}} + 12 x^{\frac{1}{3}} + 8 - (6 (x^{\frac{1}{3}} (x^{\frac{1}{3}} + 2) + 2 (x^{\frac{1}{3}} + 2))) + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

Schritt 5.2.3.10.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 6 x^{\frac{2}{3}} + 12 x^{\frac{1}{3}} + 8 - (6 (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot 2 + 2 (x^{\frac{1}{3}} + 2))) + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

Schritt 5.2.3.10.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 6 x^{\frac{2}{3}} + 12 x^{\frac{1}{3}} + 8 - (6 (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot 2 + 2 x^{\frac{1}{3}} + 2 \cdot 2)) + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

Schritt 5.2.3.11

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.2.3.11.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.11.1.1

Multipliziere $x^{\frac{1}{3}}$ mit $x^{\frac{1}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.3.11.1.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 6 x^{\frac{2}{3}} + 12 x^{\frac{1}{3}} + 8 - (6 (x^{\frac{1}{3} + \frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot 2 + 2 x^{\frac{1}{3}} + 2 \cdot 2)) + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

Schritt 5.2.3.11.1.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 6 x^{\frac{2}{3}} + 12 x^{\frac{1}{3}} + 8 - (6 (x^{\frac{1 + 1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot 2 + 2 x^{\frac{1}{3}} + 2 \cdot 2)) + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

Schritt 5.2.3.11.1.1.3

Addiere $1$ und $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 6 x^{\frac{2}{3}} + 12 x^{\frac{1}{3}} + 8 - (6 (x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot 2 + 2 x^{\frac{1}{3}} + 2 \cdot 2)) + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

Schritt 5.2.3.11.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 6 x^{\frac{2}{3}} + 12 x^{\frac{1}{3}} + 8 - (6 (x^{\frac{2}{3}} + 2 \cdot x^{\frac{1}{3}} + 2 x^{\frac{1}{3}} + 2 \cdot 2)) + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

Schritt 5.2.3.11.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 6 x^{\frac{2}{3}} + 12 x^{\frac{1}{3}} + 8 - (6 (x^{\frac{2}{3}} + 2 x^{\frac{1}{3}} + 2 x^{\frac{1}{3}} + 4)) + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

Schritt 5.2.3.11.2

Addiere $2 x^{\frac{1}{3}}$ und $2 x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 6 x^{\frac{2}{3}} + 12 x^{\frac{1}{3}} + 8 - (6 (x^{\frac{2}{3}} + 4 x^{\frac{1}{3}} + 4)) + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

Schritt 5.2.3.12

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 6 x^{\frac{2}{3}} + 12 x^{\frac{1}{3}} + 8 - (6 x^{\frac{2}{3}} + 6 (4 x^{\frac{1}{3}}) + 6 \cdot 4) + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

Schritt 5.2.3.13

Vereinfache.

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Schritt 5.2.3.13.1

Mutltipliziere $4$ mit $6$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 6 x^{\frac{2}{3}} + 12 x^{\frac{1}{3}} + 8 - (6 x^{\frac{2}{3}} + 24 x^{\frac{1}{3}} + 6 \cdot 4) + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

Schritt 5.2.3.13.2

Mutltipliziere $6$ mit $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 6 x^{\frac{2}{3}} + 12 x^{\frac{1}{3}} + 8 - (6 x^{\frac{2}{3}} + 24 x^{\frac{1}{3}} + 24) + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

Schritt 5.2.3.14

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 6 x^{\frac{2}{3}} + 12 x^{\frac{1}{3}} + 8 - (6 x^{\frac{2}{3}}) - (24 x^{\frac{1}{3}}) - 1 \cdot 24 + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

Schritt 5.2.3.15

Vereinfache.

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Schritt 5.2.3.15.1

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 6 x^{\frac{2}{3}} + 12 x^{\frac{1}{3}} + 8 - 6 x^{\frac{2}{3}} - (24 x^{\frac{1}{3}}) - 1 \cdot 24 + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

Schritt 5.2.3.15.2

Mutltipliziere $24$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 6 x^{\frac{2}{3}} + 12 x^{\frac{1}{3}} + 8 - 6 x^{\frac{2}{3}} - 24 x^{\frac{1}{3}} - 1 \cdot 24 + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

Schritt 5.2.3.15.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $24$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 6 x^{\frac{2}{3}} + 12 x^{\frac{1}{3}} + 8 - 6 x^{\frac{2}{3}} - 24 x^{\frac{1}{3}} - 24 + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

Schritt 5.2.3.16

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.16.1

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 6 x^{\frac{2}{3}} + 12 x^{\frac{1}{3}} + 8 - 6 x^{\frac{2}{3}} - 24 x^{\frac{1}{3}} - 24 + 6 (\sqrt[3]{2^{3} x} + 4) - 8$

Schritt 5.2.3.16.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 6 x^{\frac{2}{3}} + 12 x^{\frac{1}{3}} + 8 - 6 x^{\frac{2}{3}} - 24 x^{\frac{1}{3}} - 24 + 6 (2 \sqrt[3]{x} + 4) - 8$

Schritt 5.2.3.17

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 6 x^{\frac{2}{3}} + 12 x^{\frac{1}{3}} + 8 - 6 x^{\frac{2}{3}} - 24 x^{\frac{1}{3}} - 24 + 6 (2 \sqrt[3]{x}) + 6 \cdot 4 - 8$

Schritt 5.2.3.18

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 6 x^{\frac{2}{3}} + 12 x^{\frac{1}{3}} + 8 - 6 x^{\frac{2}{3}} - 24 x^{\frac{1}{3}} - 24 + 12 \sqrt[3]{x} + 6 \cdot 4 - 8$

Schritt 5.2.3.19

Mutltipliziere $6$ mit $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 6 x^{\frac{2}{3}} + 12 x^{\frac{1}{3}} + 8 - 6 x^{\frac{2}{3}} - 24 x^{\frac{1}{3}} - 24 + 12 \sqrt[3]{x} + 24 - 8$

Schritt 5.2.4

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 5.2.4.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 6 x^{\frac{2}{3}} + 12 x^{\frac{1}{3}} + 8 - 6 x^{\frac{2}{3}} - 24 x^{\frac{1}{3}} - 24 + 12 \sqrt[3]{x} + 24 - 8$ .

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Schritt 5.2.4.1.1

Subtrahiere $6 x^{\frac{2}{3}}$ von $6 x^{\frac{2}{3}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 12 x^{\frac{1}{3}} + 8 + 0 - 24 x^{\frac{1}{3}} - 24 + 12 \sqrt[3]{x} + 24 - 8$

Schritt 5.2.4.1.2

Addiere $x + 12 x^{\frac{1}{3}} + 8$ und $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 12 x^{\frac{1}{3}} + 8 - 24 x^{\frac{1}{3}} - 24 + 12 \sqrt[3]{x} + 24 - 8$

Schritt 5.2.4.1.3

Addiere $- 24$ und $24$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 12 x^{\frac{1}{3}} + 8 - 24 x^{\frac{1}{3}} + 0 + 12 \sqrt[3]{x} - 8$

Schritt 5.2.4.1.4

Addiere $x + 12 x^{\frac{1}{3}} + 8 - 24 x^{\frac{1}{3}}$ und $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 12 x^{\frac{1}{3}} + 8 - 24 x^{\frac{1}{3}} + 12 \sqrt[3]{x} - 8$

Schritt 5.2.4.1.5

Subtrahiere $8$ von $8$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 12 x^{\frac{1}{3}} + 0 - 24 x^{\frac{1}{3}} + 12 \sqrt[3]{x}$

Schritt 5.2.4.1.6

Addiere $x + 12 x^{\frac{1}{3}}$ und $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 12 x^{\frac{1}{3}} - 24 x^{\frac{1}{3}} + 12 \sqrt[3]{x}$

Schritt 5.2.4.2

Subtrahiere $24 x^{\frac{1}{3}}$ von $12 x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x - 12 x^{\frac{1}{3}} + 12 \sqrt[3]{x}$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8) = \sqrt[3]{8 (\frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8)} + 4$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Um $- \frac{3 x^{2}}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8) = \sqrt[3]{8 (\frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} \cdot \frac{4}{4} + 6 x - 8)} + 4$

Schritt 5.3.3.2

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $8$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.3.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{3 x^{2}}{2}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8) = \sqrt[3]{8 (\frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2} \cdot 4}{2 \cdot 4} + 6 x - 8)} + 4$

Schritt 5.3.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8) = \sqrt[3]{8 (\frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2} \cdot 4}{8} + 6 x - 8)} + 4$

Schritt 5.3.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8) = \sqrt[3]{8 (\frac{x^{3} - 3 x^{2} \cdot 4}{8} + 6 x - 8)} + 4$

Schritt 5.3.3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.4.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3} - 3 x^{2} \cdot 4$ heraus.

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Schritt 5.3.3.4.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3}$ heraus.

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8) = \sqrt[3]{8 (\frac{x^{2} x - 3 x^{2} \cdot 4}{8} + 6 x - 8)} + 4$

Schritt 5.3.3.4.1.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 3 x^{2} \cdot 4$ heraus.

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8) = \sqrt[3]{8 (\frac{x^{2} x + x^{2} (- 3 \cdot 4)}{8} + 6 x - 8)} + 4$

Schritt 5.3.3.4.1.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} x + x^{2} (- 3 \cdot 4)$ heraus.

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8) = \sqrt[3]{8 (\frac{x^{2} (x - 3 \cdot 4)}{8} + 6 x - 8)} + 4$

Schritt 5.3.3.4.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $4$ .

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8) = \sqrt[3]{8 (\frac{x^{2} (x - 12)}{8} + 6 x - 8)} + 4$

Schritt 5.3.3.5

Um $6 x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{8}{8}$ .

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8) = \sqrt[3]{8 (\frac{x^{2} (x - 12)}{8} + 6 x \cdot \frac{8}{8} - 8)} + 4$

Schritt 5.3.3.6

Kombiniere $6 x$ und $\frac{8}{8}$ .

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8) = \sqrt[3]{8 (\frac{x^{2} (x - 12)}{8} + \frac{6 x \cdot 8}{8} - 8)} + 4$

Schritt 5.3.3.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8) = \sqrt[3]{8 (\frac{x^{2} (x - 12) + 6 x \cdot 8}{8} - 8)} + 4$

Schritt 5.3.3.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.8.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} (x - 12) + 6 x \cdot 8$ heraus.

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Schritt 5.3.3.8.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} (x - 12)$ heraus.

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8) = \sqrt[3]{8 (\frac{x (x (x - 12)) + 6 x \cdot 8}{8} - 8)} + 4$

Schritt 5.3.3.8.1.2

Faktorisiere $x$ aus $6 x \cdot 8$ heraus.

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8) = \sqrt[3]{8 (\frac{x (x (x - 12)) + x (6 \cdot 8)}{8} - 8)} + 4$

Schritt 5.3.3.8.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x (x (x - 12)) + x (6 \cdot 8)$ heraus.

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8) = \sqrt[3]{8 (\frac{x (x (x - 12) + 6 \cdot 8)}{8} - 8)} + 4$

Schritt 5.3.3.8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8) = \sqrt[3]{8 (\frac{x (x \cdot x + x \cdot - 12 + 6 \cdot 8)}{8} - 8)} + 4$

Schritt 5.3.3.8.3

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8) = \sqrt[3]{8 (\frac{x (x^{2} + x \cdot - 12 + 6 \cdot 8)}{8} - 8)} + 4$

Schritt 5.3.3.8.4

Bringe $- 12$ auf die linke Seite von $x$ .

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8) = \sqrt[3]{8 (\frac{x (x^{2} - 12 \cdot x + 6 \cdot 8)}{8} - 8)} + 4$

Schritt 5.3.3.8.5

Mutltipliziere $6$ mit $8$ .

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8) = \sqrt[3]{8 (\frac{x (x^{2} - 12 x + 48)}{8} - 8)} + 4$

Schritt 5.3.3.9

Um $- 8$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{8}{8}$ .

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8) = \sqrt[3]{8 (\frac{x (x^{2} - 12 x + 48)}{8} - 8 \cdot \frac{8}{8})} + 4$

Schritt 5.3.3.10

Kombiniere $- 8$ und $\frac{8}{8}$ .

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8) = \sqrt[3]{8 (\frac{x (x^{2} - 12 x + 48)}{8} + \frac{- 8 \cdot 8}{8})} + 4$

Schritt 5.3.3.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8) = \sqrt[3]{8 (\frac{x (x^{2} - 12 x + 48) - 8 \cdot 8}{8})} + 4$

Schritt 5.3.3.12

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.12.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8) = \sqrt[3]{8 (\frac{x \cdot x^{2} + x (- 12 x) + x \cdot 48 - 8 \cdot 8}{8})} + 4$

Schritt 5.3.3.12.2

Vereinfache.

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Schritt 5.3.3.12.2.1

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.3.12.2.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 5.3.3.12.2.1.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8) = \sqrt[3]{8 (\frac{x \cdot x^{2} + x (- 12 x) + x \cdot 48 - 8 \cdot 8}{8})} + 4$

Schritt 5.3.3.12.2.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8) = \sqrt[3]{8 (\frac{x^{1 + 2} + x (- 12 x) + x \cdot 48 - 8 \cdot 8}{8})} + 4$

Schritt 5.3.3.12.2.1.2

Addiere $1$ und $2$ .

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8) = \sqrt[3]{8 (\frac{x^{3} + x (- 12 x) + x \cdot 48 - 8 \cdot 8}{8})} + 4$

Schritt 5.3.3.12.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8) = \sqrt[3]{8 (\frac{x^{3} - 12 x \cdot x + x \cdot 48 - 8 \cdot 8}{8})} + 4$

Schritt 5.3.3.12.2.3

Bringe $48$ auf die linke Seite von $x$ .

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8) = \sqrt[3]{8 (\frac{x^{3} - 12 x \cdot x + 48 \cdot x - 8 \cdot 8}{8})} + 4$

Schritt 5.3.3.12.3

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.3.12.3.1

Bewege $x$ .

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8) = \sqrt[3]{8 (\frac{x^{3} - 12 (x \cdot x) + 48 \cdot x - 8 \cdot 8}{8})} + 4$

Schritt 5.3.3.12.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8) = \sqrt[3]{8 (\frac{x^{3} - 12 x^{2} + 48 \cdot x - 8 \cdot 8}{8})} + 4$

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8) = \sqrt[3]{8 (\frac{x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 8 \cdot 8}{8})} + 4$

Schritt 5.3.3.12.4

Mutltipliziere $- 8$ mit $8$ .

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8) = \sqrt[3]{8 (\frac{x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64}{8})} + 4$

Schritt 5.3.3.12.5

Schreibe $x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.3.3.12.5.1

Faktorisiere $x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 5.3.3.12.5.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 64, \pm 2, \pm 32, \pm 4, \pm 16, \pm 8$

$q = \pm 1$

Schritt 5.3.3.12.5.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 64, \pm 2, \pm 32, \pm 4, \pm 16, \pm 8$

Schritt 5.3.3.12.5.1.3

Setze $4$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $4$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 5.3.3.12.5.1.3.1

Setze $4$ in das Polynom ein.

$4^{3} - 12 \cdot 4^{2} + 48 \cdot 4 - 64$

Schritt 5.3.3.12.5.1.3.2

Potenziere $4$ mit $3$ .

$64 - 12 \cdot 4^{2} + 48 \cdot 4 - 64$

Schritt 5.3.3.12.5.1.3.3

Potenziere $4$ mit $2$ .

$64 - 12 \cdot 16 + 48 \cdot 4 - 64$

Schritt 5.3.3.12.5.1.3.4

Mutltipliziere $- 12$ mit $16$ .

$64 - 192 + 48 \cdot 4 - 64$

Schritt 5.3.3.12.5.1.3.5

Subtrahiere $192$ von $64$ .

$- 128 + 48 \cdot 4 - 64$

Schritt 5.3.3.12.5.1.3.6

Mutltipliziere $48$ mit $4$ .

$- 128 + 192 - 64$

Schritt 5.3.3.12.5.1.3.7

Addiere $- 128$ und $192$ .

$64 - 64$

Schritt 5.3.3.12.5.1.3.8

Subtrahiere $64$ von $64$ .

$0$

Schritt 5.3.3.12.5.1.4

Da $4$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 4$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64}{x - 4}$

Schritt 5.3.3.12.5.1.5

Dividiere $x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64$ durch $x - 4$ .

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Schritt 5.3.3.12.5.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$4$

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$48 x$

$64$

Schritt 5.3.3.12.5.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$48 x$	-	$64$

Schritt 5.3.3.12.5.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$48 x$	-	$64$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Schritt 5.3.3.12.5.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} - 4 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$48 x$	-	$64$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Schritt 5.3.3.12.5.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$48 x$	-	$64$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$

Schritt 5.3.3.12.5.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$48 x$	-	$64$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$48 x$

Schritt 5.3.3.12.5.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 8 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$48 x$	-	$64$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$48 x$

Schritt 5.3.3.12.5.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$48 x$	-	$64$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$48 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$32 x$

Schritt 5.3.3.12.5.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 8 x^{2} + 32 x$

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$48 x$	-	$64$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$48 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$32 x$

Schritt 5.3.3.12.5.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$48 x$	-	$64$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$48 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$16 x$

Schritt 5.3.3.12.5.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$48 x$	-	$64$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$48 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$16 x$	-	$64$

Schritt 5.3.3.12.5.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $16 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$48 x$	-	$64$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$48 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$16 x$	-	$64$

Schritt 5.3.3.12.5.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$48 x$	-	$64$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$48 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$16 x$	-	$64$
							+	$16 x$	-	$64$

Schritt 5.3.3.12.5.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $16 x - 64$

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$48 x$	-	$64$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$48 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$16 x$	-	$64$
							-	$16 x$	+	$64$

Schritt 5.3.3.12.5.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$48 x$	-	$64$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$48 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$16 x$	-	$64$
							-	$16 x$	+	$64$
										$0$

Schritt 5.3.3.12.5.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} - 8 x + 16$

Schritt 5.3.3.12.5.1.6

Schreibe $x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64$ als eine Menge von Faktoren.

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8) = \sqrt[3]{8 (\frac{(x - 4) (x^{2} - 8 x + 16)}{8})} + 4$

Schritt 5.3.3.12.5.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 5.3.3.12.5.2.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8) = \sqrt[3]{8 (\frac{(x - 4) (x^{2} - 8 x + 4^{2})}{8})} + 4$

Schritt 5.3.3.12.5.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Schritt 5.3.3.12.5.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8) = \sqrt[3]{8 (\frac{(x - 4) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2})}{8})} + 4$

Schritt 5.3.3.12.5.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 4$ .

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8) = \sqrt[3]{8 (\frac{(x - 4) {(x - 4)}^{2}}{8})} + 4$

Schritt 5.3.3.12.5.3

Fasse gleichartig Faktoren zusammen.

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Schritt 5.3.3.12.5.3.1

Potenziere $x - 4$ mit $1$ .

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8) = \sqrt[3]{8 (\frac{(x - 4) {(x - 4)}^{2}}{8})} + 4$

Schritt 5.3.3.12.5.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8) = \sqrt[3]{8 (\frac{{(x - 4)}^{1 + 2}}{8})} + 4$

Schritt 5.3.3.12.5.3.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8) = \sqrt[3]{8 (\frac{{(x - 4)}^{3}}{8})} + 4$

Schritt 5.3.3.13

Kombiniere $8$ und $\frac{{(x - 4)}^{3}}{8}$ .

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8) = \sqrt[3]{\frac{8 {(x - 4)}^{3}}{8}} + 4$

Schritt 5.3.3.14

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.3.14.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{8 {(x - 4)}^{3}}{8}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.3.14.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8) = \sqrt[3]{\frac{8 {(x - 4)}^{3}}{8}} + 4$

Schritt 5.3.3.14.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8) = \sqrt[3]{\frac{{(x - 4)}^{3}}{1}} + 4$

Schritt 5.3.3.14.2

Dividiere ${(x - 4)}^{3}$ durch $1$ .

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8) = \sqrt[3]{{(x - 4)}^{3}} + 4$

Schritt 5.3.3.15

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8) = x - 4 + 4$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 4 + 4$ .

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Schritt 5.3.4.1

Addiere $- 4$ und $4$ .

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8) = x + 0$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \sqrt[3]{8 x} + 4$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8$