Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{array}]$

Schritt 1

Die Umkehrfunktion einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ bestimmt werden, wobei $a d - b c$ die Determinante ist.

Schritt 2

Bestimme die Determinante.

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Schritt 2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$3 \cdot 6 - 5 \cdot 4$

Schritt 2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $6$ .

$18 - 5 \cdot 4$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $4$ .

$18 - 20$

Schritt 2.2.2

Subtrahiere $20$ von $18$ .

$- 2$

Schritt 3

Da die Determinante ungleich null ist, existiert die Umkehrfunktion.

Schritt 4

Setze die bekannten Werte in die Formel für die Umkehrfunktion ein.

$\frac{1}{- 2} [\begin{array}{c} 6 & - 4 \\ - 5 & 3 \end{array}]$

Schritt 5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{2} [\begin{array}{c} 6 & - 4 \\ - 5 & 3 \end{array}]$

Schritt 6

Multipliziere $- \frac{1}{2}$ mit jedem Element der Matrix.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \cdot 6 & - \frac{1}{2} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{2} \cdot - 5 & - \frac{1}{2} \cdot 3 \end{array}]$

Schritt 7

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2}$ in den Zähler.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{2} \cdot 6 & - \frac{1}{2} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{2} \cdot - 5 & - \frac{1}{2} \cdot 3 \end{array}]$

Schritt 7.1.2

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{2} \cdot (2 (3)) & - \frac{1}{2} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{2} \cdot - 5 & - \frac{1}{2} \cdot 3 \end{array}]$

Schritt 7.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot 3) & - \frac{1}{2} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{2} \cdot - 5 & - \frac{1}{2} \cdot 3 \end{array}]$

Schritt 7.1.4

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} - 1 \cdot 3 & - \frac{1}{2} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{2} \cdot - 5 & - \frac{1}{2} \cdot 3 \end{array}]$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & - \frac{1}{2} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{2} \cdot - 5 & - \frac{1}{2} \cdot 3 \end{array}]$

Schritt 7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2}$ in den Zähler.

$[\begin{array}{c} - 3 & \frac{- 1}{2} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{2} \cdot - 5 & - \frac{1}{2} \cdot 3 \end{array}]$

Schritt 7.3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$[\begin{array}{c} - 3 & \frac{- 1}{2} \cdot (2 (- 2)) \\ - \frac{1}{2} \cdot - 5 & - \frac{1}{2} \cdot 3 \end{array}]$

Schritt 7.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$[\begin{array}{c} - 3 & \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot - 2) \\ - \frac{1}{2} \cdot - 5 & - \frac{1}{2} \cdot 3 \end{array}]$

Schritt 7.3.4

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} - 3 & - 1 \cdot - 2 \\ - \frac{1}{2} \cdot - 5 & - \frac{1}{2} \cdot 3 \end{array}]$

Schritt 7.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 2 \\ - \frac{1}{2} \cdot - 5 & - \frac{1}{2} \cdot 3 \end{array}]$

Schritt 7.5

Multipliziere $- \frac{1}{2} \cdot - 5$ .

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Schritt 7.5.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 2 \\ 5 (\frac{1}{2}) & - \frac{1}{2} \cdot 3 \end{array}]$

Schritt 7.5.2

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 2 \\ \frac{5}{2} & - \frac{1}{2} \cdot 3 \end{array}]$

Schritt 7.6

Multipliziere $- \frac{1}{2} \cdot 3$ .

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Schritt 7.6.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 2 \\ \frac{5}{2} & - 3 (\frac{1}{2}) \end{array}]$

Schritt 7.6.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 2 \\ \frac{5}{2} & \frac{- 3}{2} \end{array}]$

Schritt 7.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$[\begin{array}{c} - 3 & 2 \\ \frac{5}{2} & - \frac{3}{2} \end{array}]$