Algebra Beispiele

(1, 2)

$(1, 2)$ ,

(4, 2)

$(4, 2)$ ,

(5, 2)

$(5, 2)$

Schritt 1

Es gibt zwei allgemeine Gleichungen für eine Ellipse.

Horizontale Ellipsengleichung

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Vertikale Ellipsengleichung

\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Schritt 2

a

$a$ ist der Abstand zwischen dem Scheitelpunkt

(5, 2)

$(5, 2)$ und dem Mittelpunkt

(1, 2)

$(1, 2)$ .

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Schritt 2.1

Wende die Abstandsformel an, um den Abstand zwischen den zwei Punkten zu bestimmen.

Abstand = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}_{2}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}_{2}^{2}}

$Abstand = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Schritt 2.2

Setze die tatsächlichen Werte der Punkte in die Abstandsformel ein.

a = \sqrt{{(5 - 1)}^{2} + {(2 - 2)}^{2}}

$a = \sqrt{{(5 - 1)}^{2} + {(2 - 2)}^{2}}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Subtrahiere

1

$1$ von

5

$5$ .

a = \sqrt{4^{2} + {(2 - 2)}^{2}}

$a = \sqrt{4^{2} + {(2 - 2)}^{2}}$

Schritt 2.3.2

Potenziere

4

$4$ mit

2

$2$ .

a = \sqrt{16 + {(2 - 2)}^{2}}

$a = \sqrt{16 + {(2 - 2)}^{2}}$

Schritt 2.3.3

Subtrahiere

2

$2$ von

2

$2$ .

a = \sqrt{16 + 0^{2}}

$a = \sqrt{16 + 0^{2}}$

Schritt 2.3.4

0

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt

0

$0$ .

a = \sqrt{16 + 0}

$a = \sqrt{16 + 0}$

Schritt 2.3.5

Addiere

16

$16$ und

0

$0$ .

a = \sqrt{16}

$a = \sqrt{16}$

Schritt 2.3.6

Schreibe

16

$16$ als

4^{2}

$4^{2}$ um.

a = \sqrt{4^{2}}

$a = \sqrt{4^{2}}$

Schritt 2.3.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

a = 4

$a = 4$

a = 4

$a = 4$

a = 4

$a = 4$

Schritt 3

c

$c$ ist der Abstand zwischen dem Brennpunkt

(4, 2)

$(4, 2)$ und dem Mittelpunkt

(1, 2)

$(1, 2)$ .

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Schritt 3.1

Wende die Abstandsformel an, um den Abstand zwischen den zwei Punkten zu bestimmen.

Abstand = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}_{2}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}_{2}^{2}}

$Abstand = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Schritt 3.2

Setze die tatsächlichen Werte der Punkte in die Abstandsformel ein.

$c = \sqrt{{(4 - 1)}^{2} + {(2 - 2)}^{2}}$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Subtrahiere

$1$ von

$4$ .

$c = \sqrt{3^{2} + {(2 - 2)}^{2}}$

Schritt 3.3.2

Potenziere

$3$ mit

$2$ .

$c = \sqrt{9 + {(2 - 2)}^{2}}$

Schritt 3.3.3

Subtrahiere

$2$ von

$2$ .

$c = \sqrt{9 + 0^{2}}$

Schritt 3.3.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt

$0$ .

$c = \sqrt{9 + 0}$

Schritt 3.3.5

Addiere

$9$ und

$0$ .

$c = \sqrt{9}$

Schritt 3.3.6

Schreibe

$9$ als

$3^{2}$ um.

$c = \sqrt{3^{2}}$

Schritt 3.3.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$c = 3$

Schritt 4

Wir benutzen die Gleichung

$c^{2} = a^{2} - b^{2}$ . Setze

$4$ für

$a$ und

$3$ für

$c$ ein.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als

${(4)}^{2} - b^{2} = 3^{2}$ um.

${(4)}^{2} - b^{2} = 3^{2}$

Schritt 4.2

Potenziere

$4$ mit

$2$ .

$16 - b^{2} = 3^{2}$

Schritt 4.3

Potenziere

$3$ mit

$2$ .

$16 - b^{2} = 9$

Schritt 4.4

Bringe alle Terme, die nicht

$b$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.4.1

Subtrahiere

$16$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- b^{2} = 9 - 16$

Schritt 4.4.2

Subtrahiere

$16$ von

$9$ .

$- b^{2} = - 7$

Schritt 4.5

Teile jeden Ausdruck in

$- b^{2} = - 7$ durch

$- 1$ und vereinfache.

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Schritt 4.5.1

Teile jeden Ausdruck in

$- b^{2} = - 7$ durch

$- 1$ .

$\frac{- b^{2}}{- 1} = \frac{- 7}{- 1}$

Schritt 4.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.5.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{b^{2}}{1} = \frac{- 7}{- 1}$

Schritt 4.5.2.2

Dividiere

$b^{2}$ durch

$1$ .

$b^{2} = \frac{- 7}{- 1}$

Schritt 4.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.5.3.1

Dividiere

$- 7$ durch

$- 1$ .

$b^{2} = 7$

Schritt 4.6

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$b = \pm \sqrt{7}$

Schritt 4.7

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.7.1

Verwende zunächst den positiven Wert des

$\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$b = \sqrt{7}$

Schritt 4.7.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von

$\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$b = - \sqrt{7}$

Schritt 4.7.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$b = \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

Schritt 5

$b$ ist ein Abstand, d. h., es sollte eine positive Zahl sein.

$b = \sqrt{7}$

Schritt 6

Die Steigung der Geraden zwischen dem Brennpunkt

$(4, 2)$ und dem Mittelpunkt

$(1, 2)$ bestimmt, ob die Ellipse vertikal oder horizontal ist. Wenn die Steigung gleich

$0$ ist, ist der Graph horizontal. Ist die Steigung nicht definiert, ist der Graph vertikal.

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Schritt 6.1

Die Steigung ist gleich der Änderung von

$y$ dividiert durch die Änderung von

$x$ .

$m = \frac{Änderung in y}{Änderung in x}$

Schritt 6.2

Die Änderung von

$x$ ist gleich der Differenz zwischen den x-Koordinaten und die Änderung von

$y$ ist gleich der Differenz zwischen den y-Koordinaten.

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

Schritt 6.3

Setze die Werte von

$x$ und

$y$ in die Gleichung ein, um die Steigung zu ermitteln.

$m = \frac{2 - (2)}{1 - (4)}$

Schritt 6.4

Vereinfache.

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Schritt 6.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.4.1.1

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$2$ .

$m = \frac{2 - 2}{1 - (4)}$

Schritt 6.4.1.2

Subtrahiere

$2$ von

$2$ .

$m = \frac{0}{1 - (4)}$

Schritt 6.4.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.4.2.1

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$4$ .

$m = \frac{0}{1 - 4}$

Schritt 6.4.2.2

Subtrahiere

$4$ von

$1$ .

$m = \frac{0}{- 3}$

Schritt 6.4.3

Dividiere

$0$ durch

$- 3$ .

$m = 0$

Schritt 6.5

Die allgemeine Gleichung für eine horizontale Ellipse ist

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ .

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Schritt 7

Setze die Werte

$h = 1$ ,

$k = 2$ ,

$a = 4$ und

$b = \sqrt{7}$ in

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ ein, um die Ellipsengleichung

$\frac{{(x - (1))}^{2}}{{(4)}^{2}} + \frac{{(y - (2))}^{2}}{{(\sqrt{7})}^{2}} = 1$ zu erhalten.

$\frac{{(x - (1))}^{2}}{{(4)}^{2}} + \frac{{(y - (2))}^{2}}{{(\sqrt{7})}^{2}} = 1$

Schritt 8

Vereinfache, um die endgültige Gleichung der Ellipse zu bestimmen.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{4^{2}} + \frac{{(y - (2))}^{2}}{{(\sqrt{7})}^{2}} = 1$

Schritt 8.2

Potenziere

$4$ mit

$2$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - (2))}^{2}}{{(\sqrt{7})}^{2}} = 1$

Schritt 8.3

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$2$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{{\sqrt{7}}^{2}} = 1$

Schritt 8.4

Schreibe

${\sqrt{7}}^{2}$ als

$7$ um.

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Schritt 8.4.1

Benutze

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um

$\sqrt{7}$ als

$7^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}} = 1$

Schritt 8.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = 1$

Schritt 8.4.3

Kombiniere

$\frac{1}{2}$ und

$2$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{7^{\frac{2}{2}}} = 1$

Schritt 8.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$2$ .

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Schritt 8.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{7^{\frac{2}{2}}} = 1$

Schritt 8.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{7} = 1$

Schritt 8.4.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{7} = 1$

Schritt 9