Algebra Beispiele

$(1, 2)$ , $(4, 2)$ , $(5, 2)$

Schritt 1

Es gibt zwei allgemeine Gleichungen für eine Ellipse.

Horizontale Ellipsengleichung $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Vertikale Ellipsengleichung $\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Schritt 2

$a$ ist der Abstand zwischen dem Scheitelpunkt $(5, 2)$ und dem Mittelpunkt $(1, 2)$ .

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Schritt 2.1

Wende die Abstandsformel an, um den Abstand zwischen den zwei Punkten zu bestimmen.

$Abstand = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Schritt 2.2

Setze die tatsächlichen Werte der Punkte in die Abstandsformel ein.

$a = \sqrt{{(5 - 1)}^{2} + {(2 - 2)}^{2}}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Subtrahiere $1$ von $5$ .

$a = \sqrt{4^{2} + {(2 - 2)}^{2}}$

Schritt 2.3.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$a = \sqrt{16 + {(2 - 2)}^{2}}$

Schritt 2.3.3

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$a = \sqrt{16 + 0^{2}}$

Schritt 2.3.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$a = \sqrt{16 + 0}$

Schritt 2.3.5

Addiere $16$ und $0$ .

$a = \sqrt{16}$

Schritt 2.3.6

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$a = \sqrt{4^{2}}$

Schritt 2.3.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$a = 4$

Schritt 3

$c$ ist der Abstand zwischen dem Brennpunkt $(4, 2)$ und dem Mittelpunkt $(1, 2)$ .

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Schritt 3.1

Wende die Abstandsformel an, um den Abstand zwischen den zwei Punkten zu bestimmen.

$Abstand = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Schritt 3.2

Setze die tatsächlichen Werte der Punkte in die Abstandsformel ein.

$c = \sqrt{{(4 - 1)}^{2} + {(2 - 2)}^{2}}$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$c = \sqrt{3^{2} + {(2 - 2)}^{2}}$

Schritt 3.3.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$c = \sqrt{9 + {(2 - 2)}^{2}}$

Schritt 3.3.3

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$c = \sqrt{9 + 0^{2}}$

Schritt 3.3.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$c = \sqrt{9 + 0}$

Schritt 3.3.5

Addiere $9$ und $0$ .

$c = \sqrt{9}$

Schritt 3.3.6

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$c = \sqrt{3^{2}}$

Schritt 3.3.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$c = 3$

Schritt 4

Wir benutzen die Gleichung $c^{2} = a^{2} - b^{2}$ . Setze $4$ für $a$ und $3$ für $c$ ein.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als ${(4)}^{2} - b^{2} = 3^{2}$ um.

${(4)}^{2} - b^{2} = 3^{2}$

Schritt 4.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$16 - b^{2} = 3^{2}$

Schritt 4.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$16 - b^{2} = 9$

Schritt 4.4

Bringe alle Terme, die nicht $b$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.4.1

Subtrahiere $16$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- b^{2} = 9 - 16$

Schritt 4.4.2

Subtrahiere $16$ von $9$ .

$- b^{2} = - 7$

Schritt 4.5

Teile jeden Ausdruck in $- b^{2} = - 7$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 4.5.1

Teile jeden Ausdruck in $- b^{2} = - 7$ durch $- 1$ .

$\frac{- b^{2}}{- 1} = \frac{- 7}{- 1}$

Schritt 4.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.5.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{b^{2}}{1} = \frac{- 7}{- 1}$

Schritt 4.5.2.2

Dividiere $b^{2}$ durch $1$ .

$b^{2} = \frac{- 7}{- 1}$

Schritt 4.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.5.3.1

Dividiere $- 7$ durch $- 1$ .

$b^{2} = 7$

Schritt 4.6

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$b = \pm \sqrt{7}$

Schritt 4.7

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.7.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$b = \sqrt{7}$

Schritt 4.7.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$b = - \sqrt{7}$

Schritt 4.7.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$b = \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

Schritt 5

$b$ ist ein Abstand, d. h., es sollte eine positive Zahl sein.

$b = \sqrt{7}$

Schritt 6

Die Steigung der Geraden zwischen dem Brennpunkt $(4, 2)$ und dem Mittelpunkt $(1, 2)$ bestimmt, ob die Ellipse vertikal oder horizontal ist. Wenn die Steigung gleich $0$ ist, ist der Graph horizontal. Ist die Steigung nicht definiert, ist der Graph vertikal.

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Schritt 6.1

Die Steigung ist gleich der Änderung von $y$ dividiert durch die Änderung von $x$ .

$m = \frac{Änderung in y}{Änderung in x}$

Schritt 6.2

Die Änderung von $x$ ist gleich der Differenz zwischen den x-Koordinaten und die Änderung von $y$ ist gleich der Differenz zwischen den y-Koordinaten.

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

Schritt 6.3

Setze die Werte von $x$ und $y$ in die Gleichung ein, um die Steigung zu ermitteln.

$m = \frac{2 - (2)}{1 - (4)}$

Schritt 6.4

Vereinfache.

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Schritt 6.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.4.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$m = \frac{2 - 2}{1 - (4)}$

Schritt 6.4.1.2

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$m = \frac{0}{1 - (4)}$

Schritt 6.4.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.4.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$m = \frac{0}{1 - 4}$

Schritt 6.4.2.2

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$m = \frac{0}{- 3}$

Schritt 6.4.3

Dividiere $0$ durch $- 3$ .

$m = 0$

Schritt 6.5

Die allgemeine Gleichung für eine horizontale Ellipse ist $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ .

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Schritt 7

Setze die Werte $h = 1$ , $k = 2$ , $a = 4$ und $b = \sqrt{7}$ in $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ ein, um die Ellipsengleichung $\frac{{(x - (1))}^{2}}{{(4)}^{2}} + \frac{{(y - (2))}^{2}}{{(\sqrt{7})}^{2}} = 1$ zu erhalten.

$\frac{{(x - (1))}^{2}}{{(4)}^{2}} + \frac{{(y - (2))}^{2}}{{(\sqrt{7})}^{2}} = 1$

Schritt 8

Vereinfache, um die endgültige Gleichung der Ellipse zu bestimmen.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{4^{2}} + \frac{{(y - (2))}^{2}}{{(\sqrt{7})}^{2}} = 1$

Schritt 8.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - (2))}^{2}}{{(\sqrt{7})}^{2}} = 1$

Schritt 8.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{{\sqrt{7}}^{2}} = 1$

Schritt 8.4

Schreibe ${\sqrt{7}}^{2}$ als $7$ um.

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Schritt 8.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{7}$ als $7^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}} = 1$

Schritt 8.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = 1$

Schritt 8.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{7^{\frac{2}{2}}} = 1$

Schritt 8.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{7^{\frac{2}{2}}} = 1$

Schritt 8.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{7} = 1$

Schritt 8.4.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{7} = 1$

Schritt 9