Algebra Beispiele

$(0, 3)$ , $(2, 13)$ , $(3, 12)$

Schritt 1

Benutze die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung $y = a x^{2} + b x + c$ als den Ausgangspunkt zum Auffinden der Gleichung durch die drei Punkte.

$y = a x^{2} + b x + c$

Schritt 2

Erzeuge ein System von Gleichungen durch Einsetzen der $x$ - und $y$ -Werte jedes Punkts in die Standardformel einer quadratischen Gleichung, um das System mit drei Gleichungen zu bilden.

$3 = a {(0)}^{2} + b (0) + c, 13 = a {(2)}^{2} + b (2) + c, 12 = a {(3)}^{2} + b (3) + c$

Schritt 3

Löse das Gleichungssystem, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1

Löse in $3 = a \cdot 0^{2} + c$ nach $c$ auf.

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Schritt 3.1.1

Schreibe die Gleichung als $a \cdot 0^{2} + c = 3$ um.

$a \cdot 0^{2} + c = 3$

$13 = a \cdot 2^{2} + b (2) + c$

$12 = a \cdot 3^{2} + b (3) + c$

Schritt 3.1.2

Vereinfache $a \cdot 0^{2} + c$ .

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Schritt 3.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$a \cdot 0 + c = 3$

$13 = a \cdot 2^{2} + b (2) + c$

$12 = a \cdot 3^{2} + b (3) + c$

Schritt 3.1.2.1.2

Mutltipliziere $a$ mit $0$ .

$0 + c = 3$

$13 = a \cdot 2^{2} + b (2) + c$

$12 = a \cdot 3^{2} + b (3) + c$

$0 + c = 3$

$13 = a \cdot 2^{2} + b (2) + c$

$12 = a \cdot 3^{2} + b (3) + c$

Schritt 3.1.2.2

Addiere $0$ und $c$ .

$c = 3$

$13 = a \cdot 2^{2} + b (2) + c$

$12 = a \cdot 3^{2} + b (3) + c$

$c = 3$

$13 = a \cdot 2^{2} + b (2) + c$

$12 = a \cdot 3^{2} + b (3) + c$

$c = 3$

$13 = a \cdot 2^{2} + b (2) + c$

$12 = a \cdot 3^{2} + b (3) + c$

Schritt 3.2

Ersetze alle Vorkommen von $c$ durch $3$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Ersetze alle $c$ in $13 = a \cdot 2^{2} + b (2) + c$ durch $3$ .

$13 = a \cdot 2^{2} + b (2) + 3$

$c = 3$

$12 = a \cdot 3^{2} + b (3) + c$

Schritt 3.2.2

Vereinfache $13 = a \cdot 2^{2} + b (2) + 3$ .

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1.1

Entferne die Klammern.

$13 = a \cdot 2^{2} + b (2) + 3$

$c = 3$

$12 = a \cdot 3^{2} + b (3) + c$

$13 = a \cdot 2^{2} + b (2) + 3$

$c = 3$

$12 = a \cdot 3^{2} + b (3) + c$

Schritt 3.2.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.2.2.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$13 = a \cdot 4 + b (2) + 3$

$c = 3$

$12 = a \cdot 3^{2} + b (3) + c$

Schritt 3.2.2.2.1.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $a$ .

$13 = 4 \cdot a + b (2) + 3$

$c = 3$

$12 = a \cdot 3^{2} + b (3) + c$

Schritt 3.2.2.2.1.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $b$ .

$13 = 4 a + 2 b + 3$

$c = 3$

$12 = a \cdot 3^{2} + b (3) + c$

$13 = 4 a + 2 b + 3$

$c = 3$

$12 = a \cdot 3^{2} + b (3) + c$

$13 = 4 a + 2 b + 3$

$c = 3$

$12 = a \cdot 3^{2} + b (3) + c$

$13 = 4 a + 2 b + 3$

$c = 3$

$12 = a \cdot 3^{2} + b (3) + c$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $c$ in $12 = a \cdot 3^{2} + b (3) + c$ durch $3$ .

$12 = a \cdot 3^{2} + b (3) + 3$

$13 = 4 a + 2 b + 3$

$c = 3$

Schritt 3.2.4

Vereinfache $12 = a \cdot 3^{2} + b (3) + 3$ .

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Schritt 3.2.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.4.1.1

Entferne die Klammern.

$12 = a \cdot 3^{2} + b (3) + 3$

$13 = 4 a + 2 b + 3$

$c = 3$

$12 = a \cdot 3^{2} + b (3) + 3$

$13 = 4 a + 2 b + 3$

$c = 3$

Schritt 3.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.4.2.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$12 = a \cdot 9 + b (3) + 3$

$13 = 4 a + 2 b + 3$

$c = 3$

Schritt 3.2.4.2.1.2

Bringe $9$ auf die linke Seite von $a$ .

$12 = 9 \cdot a + b (3) + 3$

$13 = 4 a + 2 b + 3$

$c = 3$

Schritt 3.2.4.2.1.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $b$ .

$12 = 9 a + 3 b + 3$

$13 = 4 a + 2 b + 3$

$c = 3$

$12 = 9 a + 3 b + 3$

$13 = 4 a + 2 b + 3$

$c = 3$

$12 = 9 a + 3 b + 3$

$13 = 4 a + 2 b + 3$

$c = 3$

$12 = 9 a + 3 b + 3$

$13 = 4 a + 2 b + 3$

$c = 3$

$12 = 9 a + 3 b + 3$

$13 = 4 a + 2 b + 3$

$c = 3$

Schritt 3.3

Löse in $12 = 9 a + 3 b + 3$ nach $a$ auf.

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Schritt 3.3.1

Schreibe die Gleichung als $9 a + 3 b + 3 = 12$ um.

$9 a + 3 b + 3 = 12$

$13 = 4 a + 2 b + 3$

$c = 3$

Schritt 3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $a$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Subtrahiere $3 b$ von beiden Seiten der Gleichung.

$9 a + 3 = 12 - 3 b$

$13 = 4 a + 2 b + 3$

$c = 3$

Schritt 3.3.2.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$9 a = 12 - 3 b - 3$

$13 = 4 a + 2 b + 3$

$c = 3$

Schritt 3.3.2.3

Subtrahiere $3$ von $12$ .

$9 a = - 3 b + 9$

$13 = 4 a + 2 b + 3$

$c = 3$

$9 a = - 3 b + 9$

$13 = 4 a + 2 b + 3$

$c = 3$

Schritt 3.3.3

Teile jeden Ausdruck in $9 a = - 3 b + 9$ durch $9$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $9 a = - 3 b + 9$ durch $9$ .

$\frac{9 a}{9} = \frac{- 3 b}{9} + \frac{9}{9}$

$13 = 4 a + 2 b + 3$

$c = 3$

Schritt 3.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 3.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 a}{9} = \frac{- 3 b}{9} + \frac{9}{9}$

$13 = 4 a + 2 b + 3$

$c = 3$

Schritt 3.3.3.2.1.2

Dividiere $a$ durch $1$ .

$a = \frac{- 3 b}{9} + \frac{9}{9}$

$13 = 4 a + 2 b + 3$

$c = 3$

$a = \frac{- 3 b}{9} + \frac{9}{9}$

$13 = 4 a + 2 b + 3$

$c = 3$

$a = \frac{- 3 b}{9} + \frac{9}{9}$

$13 = 4 a + 2 b + 3$

$c = 3$

Schritt 3.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 3$ und $9$ .

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Schritt 3.3.3.3.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 b$ heraus.

$a = \frac{3 (- b)}{9} + \frac{9}{9}$

$13 = 4 a + 2 b + 3$

$c = 3$

Schritt 3.3.3.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.3.3.1.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$a = \frac{3 (- b)}{3 (3)} + \frac{9}{9}$

$13 = 4 a + 2 b + 3$

$c = 3$

Schritt 3.3.3.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$a = \frac{3 (- b)}{3 \cdot 3} + \frac{9}{9}$

$13 = 4 a + 2 b + 3$

$c = 3$

Schritt 3.3.3.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$a = \frac{- b}{3} + \frac{9}{9}$

$13 = 4 a + 2 b + 3$

$c = 3$

$a = \frac{- b}{3} + \frac{9}{9}$

$13 = 4 a + 2 b + 3$

$c = 3$

$a = \frac{- b}{3} + \frac{9}{9}$

$13 = 4 a + 2 b + 3$

$c = 3$

Schritt 3.3.3.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$a = - \frac{b}{3} + \frac{9}{9}$

$13 = 4 a + 2 b + 3$

$c = 3$

Schritt 3.3.3.3.1.3

Dividiere $9$ durch $9$ .

$a = - \frac{b}{3} + 1$

$13 = 4 a + 2 b + 3$

$c = 3$

$a = - \frac{b}{3} + 1$

$13 = 4 a + 2 b + 3$

$c = 3$

$a = - \frac{b}{3} + 1$

$13 = 4 a + 2 b + 3$

$c = 3$

$a = - \frac{b}{3} + 1$

$13 = 4 a + 2 b + 3$

$c = 3$

$a = - \frac{b}{3} + 1$

$13 = 4 a + 2 b + 3$

$c = 3$

Schritt 3.4

Ersetze alle Vorkommen von $a$ durch $- \frac{b}{3} + 1$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Ersetze alle $a$ in $13 = 4 a + 2 b + 3$ durch $- \frac{b}{3} + 1$ .

$13 = 4 (- \frac{b}{3} + 1) + 2 b + 3$

$a = - \frac{b}{3} + 1$

$c = 3$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Vereinfache $4 (- \frac{b}{3} + 1) + 2 b + 3$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$13 = 4 (- \frac{b}{3}) + 4 \cdot 1 + 2 b + 3$

$a = - \frac{b}{3} + 1$

$c = 3$

Schritt 3.4.2.1.1.2

Multipliziere $4 (- \frac{b}{3})$ .

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Schritt 3.4.2.1.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$13 = - 4 \frac{b}{3} + 4 \cdot 1 + 2 b + 3$

$a = - \frac{b}{3} + 1$

$c = 3$

Schritt 3.4.2.1.1.2.2

Kombiniere $- 4$ und $\frac{b}{3}$ .

$13 = \frac{- 4 b}{3} + 4 \cdot 1 + 2 b + 3$

$a = - \frac{b}{3} + 1$

$c = 3$

$13 = \frac{- 4 b}{3} + 4 \cdot 1 + 2 b + 3$

$a = - \frac{b}{3} + 1$

$c = 3$

Schritt 3.4.2.1.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$13 = \frac{- 4 b}{3} + 4 + 2 b + 3$

$a = - \frac{b}{3} + 1$

$c = 3$

Schritt 3.4.2.1.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$13 = - \frac{4 b}{3} + 4 + 2 b + 3$

$a = - \frac{b}{3} + 1$

$c = 3$

$13 = - \frac{4 b}{3} + 4 + 2 b + 3$

$a = - \frac{b}{3} + 1$

$c = 3$

Schritt 3.4.2.1.2

Um $2 b$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$13 = - \frac{4 b}{3} + 2 b \cdot \frac{3}{3} + 4 + 3$

$a = - \frac{b}{3} + 1$

$c = 3$

Schritt 3.4.2.1.3

Kombiniere $2 b$ und $\frac{3}{3}$ .

$13 = - \frac{4 b}{3} + \frac{2 b \cdot 3}{3} + 4 + 3$

$a = - \frac{b}{3} + 1$

$c = 3$

Schritt 3.4.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$13 = \frac{- 4 b + 2 b \cdot 3}{3} + 4 + 3$

$a = - \frac{b}{3} + 1$

$c = 3$

Schritt 3.4.2.1.5

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 3.4.2.1.5.1

Schreibe $4$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$13 = \frac{- 4 b + 2 b \cdot 3}{3} + \frac{4}{1} + 3$

$a = - \frac{b}{3} + 1$

$c = 3$

Schritt 3.4.2.1.5.2

Mutltipliziere $\frac{4}{1}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$13 = \frac{- 4 b + 2 b \cdot 3}{3} + \frac{4}{1} \cdot \frac{3}{3} + 3$

$a = - \frac{b}{3} + 1$

$c = 3$

Schritt 3.4.2.1.5.3

Mutltipliziere $\frac{4}{1}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$13 = \frac{- 4 b + 2 b \cdot 3}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3} + 3$

$a = - \frac{b}{3} + 1$

$c = 3$

Schritt 3.4.2.1.5.4

Schreibe $3$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$13 = \frac{- 4 b + 2 b \cdot 3}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3} + \frac{3}{1}$

$a = - \frac{b}{3} + 1$

$c = 3$

Schritt 3.4.2.1.5.5

Mutltipliziere $\frac{3}{1}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$13 = \frac{- 4 b + 2 b \cdot 3}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3} + \frac{3}{1} \cdot \frac{3}{3}$

$a = - \frac{b}{3} + 1$

$c = 3$

Schritt 3.4.2.1.5.6

Mutltipliziere $\frac{3}{1}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$13 = \frac{- 4 b + 2 b \cdot 3}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3}$

$a = - \frac{b}{3} + 1$

$c = 3$

$13 = \frac{- 4 b + 2 b \cdot 3}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3}$

$a = - \frac{b}{3} + 1$

$c = 3$

Schritt 3.4.2.1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$13 = \frac{- 4 b + 2 b \cdot 3 + 4 \cdot 3 + 3 \cdot 3}{3}$

$a = - \frac{b}{3} + 1$

$c = 3$

Schritt 3.4.2.1.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.2.1.7.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$13 = \frac{- 4 b + 6 b + 4 \cdot 3 + 3 \cdot 3}{3}$

$a = - \frac{b}{3} + 1$

$c = 3$

Schritt 3.4.2.1.7.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$13 = \frac{- 4 b + 6 b + 12 + 3 \cdot 3}{3}$

$a = - \frac{b}{3} + 1$

$c = 3$

Schritt 3.4.2.1.7.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$13 = \frac{- 4 b + 6 b + 12 + 9}{3}$

$a = - \frac{b}{3} + 1$

$c = 3$

$13 = \frac{- 4 b + 6 b + 12 + 9}{3}$

$a = - \frac{b}{3} + 1$

$c = 3$

Schritt 3.4.2.1.8

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 3.4.2.1.8.1

Addiere $- 4 b$ und $6 b$ .

$13 = \frac{2 b + 12 + 9}{3}$

$a = - \frac{b}{3} + 1$

$c = 3$

Schritt 3.4.2.1.8.2

Addiere $12$ und $9$ .

$13 = \frac{2 b + 21}{3}$

$a = - \frac{b}{3} + 1$

$c = 3$

$13 = \frac{2 b + 21}{3}$

$a = - \frac{b}{3} + 1$

$c = 3$

$13 = \frac{2 b + 21}{3}$

$a = - \frac{b}{3} + 1$

$c = 3$

$13 = \frac{2 b + 21}{3}$

$a = - \frac{b}{3} + 1$

$c = 3$

$13 = \frac{2 b + 21}{3}$

$a = - \frac{b}{3} + 1$

$c = 3$

Schritt 3.5

Löse in $13 = \frac{2 b + 21}{3}$ nach $b$ auf.

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Schritt 3.5.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{2 b + 21}{3} = 13$ um.

$\frac{2 b + 21}{3} = 13$

$a = - \frac{b}{3} + 1$

$c = 3$

Schritt 3.5.2

Multipliziere beide Seiten mit $3$ .

$\frac{2 b + 21}{3} \cdot 3 = 13 \cdot 3$

$a = - \frac{b}{3} + 1$

$c = 3$

Schritt 3.5.3

Vereinfache.

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Schritt 3.5.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.5.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 b + 21}{3} \cdot 3 = 13 \cdot 3$

$a = - \frac{b}{3} + 1$

$c = 3$

Schritt 3.5.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$2 b + 21 = 13 \cdot 3$

$a = - \frac{b}{3} + 1$

$c = 3$

$2 b + 21 = 13 \cdot 3$

$a = - \frac{b}{3} + 1$

$c = 3$

$2 b + 21 = 13 \cdot 3$

$a = - \frac{b}{3} + 1$

$c = 3$

Schritt 3.5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.3.2.1

Mutltipliziere $13$ mit $3$ .

$2 b + 21 = 39$

$a = - \frac{b}{3} + 1$

$c = 3$

$2 b + 21 = 39$

$a = - \frac{b}{3} + 1$

$c = 3$

$2 b + 21 = 39$

$a = - \frac{b}{3} + 1$

$c = 3$

Schritt 3.5.4

Löse nach $b$ auf.

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Schritt 3.5.4.1

Bringe alle Terme, die nicht $b$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.5.4.1.1

Subtrahiere $21$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 b = 39 - 21$

$a = - \frac{b}{3} + 1$

$c = 3$

Schritt 3.5.4.1.2

Subtrahiere $21$ von $39$ .

$2 b = 18$

$a = - \frac{b}{3} + 1$

$c = 3$

$2 b = 18$

$a = - \frac{b}{3} + 1$

$c = 3$

Schritt 3.5.4.2

Teile jeden Ausdruck in $2 b = 18$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 b = 18$ durch $2$ .

$\frac{2 b}{2} = \frac{18}{2}$

$a = - \frac{b}{3} + 1$

$c = 3$

Schritt 3.5.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 b}{2} = \frac{18}{2}$

$a = - \frac{b}{3} + 1$

$c = 3$

Schritt 3.5.4.2.2.1.2

Dividiere $b$ durch $1$ .

$b = \frac{18}{2}$

$a = - \frac{b}{3} + 1$

$c = 3$

$b = \frac{18}{2}$

$a = - \frac{b}{3} + 1$

$c = 3$

$b = \frac{18}{2}$

$a = - \frac{b}{3} + 1$

$c = 3$

Schritt 3.5.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.4.2.3.1

Dividiere $18$ durch $2$ .

$b = 9$

$a = - \frac{b}{3} + 1$

$c = 3$

$b = 9$

$a = - \frac{b}{3} + 1$

$c = 3$

$b = 9$

$a = - \frac{b}{3} + 1$

$c = 3$

$b = 9$

$a = - \frac{b}{3} + 1$

$c = 3$

$b = 9$

$a = - \frac{b}{3} + 1$

$c = 3$

Schritt 3.6

Ersetze alle Vorkommen von $b$ durch $9$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.6.1

Ersetze alle $b$ in $a = - \frac{b}{3} + 1$ durch $9$ .

$a = - \frac{9}{3} + 1$

$b = 9$

$c = 3$

Schritt 3.6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.6.2.1

Vereinfache $- \frac{9}{3} + 1$ .

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Schritt 3.6.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.6.2.1.1.1

Dividiere $9$ durch $3$ .

$a = - 1 \cdot 3 + 1$

$b = 9$

$c = 3$

Schritt 3.6.2.1.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$a = - 3 + 1$

$b = 9$

$c = 3$

$a = - 3 + 1$

$b = 9$

$c = 3$

Schritt 3.6.2.1.2

Addiere $- 3$ und $1$ .

$a = - 2$

$b = 9$

$c = 3$

$a = - 2$

$b = 9$

$c = 3$

$a = - 2$

$b = 9$

$c = 3$

$a = - 2$

$b = 9$

$c = 3$

Schritt 3.7

Liste alle Lösungen auf.

$a = - 2, b = 9, c = 3$

Schritt 4

Setze die tatsächlichen Werte von $a$ , $b$ und $c$ in die Formel für eine quadratische Gleichung ein, um die resultierende Gleichung zu ermitteln.

$y = - 2 x^{2} + 9 x + 3$

Schritt 5