Algebra Beispiele

$1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27}$

Schritt 1

Dies ist eine geometrische Folge, da es zwischen aufeinanderfolgenden Termen ein gemeinsames Verhältnis gibt. In diesem Fall ergibt die Multiplikation des vorhergehenden Terms in der Folge mit $\frac{1}{3}$ den nächsten Term. Mit anderen Worten: $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Geometrische Folge: $r = \frac{1}{3}$

Schritt 2

Dies ist die Form einer geometrischen Folge.

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

Schritt 3

Setze die Werte von $a_{1} = 1$ und $r = \frac{1}{3}$ ein.

$a_{n} = 1 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$

Schritt 4

Mutltipliziere ${(\frac{1}{3})}^{n - 1}$ mit $1$ .

$a_{n} = {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$

Schritt 5

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{3}$ an.

$a_{n} = \frac{1^{n - 1}}{3^{n - 1}}$

Schritt 6

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$a_{n} = \frac{1}{3^{n - 1}}$

Schritt 7

Dies ist die Formel zur Berechnung der Summe der ersten $n$ Terme der geometrischen Folge. Ermittle die Werte von $r$ und $a_{1}$ , um sie auszuwerten.

$S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$

Schritt 8

Ersetze die Variablen durch die bekannten Werte, um $S_{4}$ zu ermitteln.

$S_{4} = 1 \cdot \frac{{(\frac{1}{3})}^{4} - 1}{\frac{1}{3} - 1}$

Schritt 9

Mutltipliziere $\frac{{(\frac{1}{3})}^{4} - 1}{\frac{1}{3} - 1}$ mit $1$ .

$S_{4} = \frac{{(\frac{1}{3})}^{4} - 1}{\frac{1}{3} - 1}$

Schritt 10

Multipliziere den Zähler und Nenner des Bruches mit $3$ .

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Schritt 10.1

Mutltipliziere $\frac{{(\frac{1}{3})}^{4} - 1}{\frac{1}{3} - 1}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$S_{4} = \frac{3}{3} \cdot \frac{{(\frac{1}{3})}^{4} - 1}{\frac{1}{3} - 1}$

Schritt 10.2

Kombinieren.

$S_{4} = \frac{3 ({(\frac{1}{3})}^{4} - 1)}{3 (\frac{1}{3} - 1)}$

Schritt 11

Wende das Distributivgesetz an.

$S_{4} = \frac{3 {(\frac{1}{3})}^{4} + 3 \cdot - 1}{3 (\frac{1}{3}) + 3 \cdot - 1}$

Schritt 12

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 12.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$S_{4} = \frac{3 {(\frac{1}{3})}^{4} + 3 \cdot - 1}{3 (\frac{1}{3}) + 3 \cdot - 1}$

Schritt 12.2

Forme den Ausdruck um.

$S_{4} = \frac{3 {(\frac{1}{3})}^{4} + 3 \cdot - 1}{1 + 3 \cdot - 1}$

Schritt 13

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{3}$ an.

$S_{4} = \frac{3 (\frac{1^{4}}{3^{4}}) + 3 \cdot - 1}{1 + 3 \cdot - 1}$

Schritt 13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 13.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3^{4}$ heraus.

$S_{4} = \frac{3 (\frac{1^{4}}{3 \cdot 3^{3}}) + 3 \cdot - 1}{1 + 3 \cdot - 1}$

Schritt 13.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$S_{4} = \frac{3 (\frac{1^{4}}{3 \cdot 3^{3}}) + 3 \cdot - 1}{1 + 3 \cdot - 1}$

Schritt 13.2.3

Forme den Ausdruck um.

$S_{4} = \frac{\frac{1^{4}}{3^{3}} + 3 \cdot - 1}{1 + 3 \cdot - 1}$

Schritt 13.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$S_{4} = \frac{\frac{1}{3^{3}} + 3 \cdot - 1}{1 + 3 \cdot - 1}$

Schritt 13.4

Potenziere $3$ mit $3$ .

$S_{4} = \frac{\frac{1}{27} + 3 \cdot - 1}{1 + 3 \cdot - 1}$

Schritt 13.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$S_{4} = \frac{\frac{1}{27} - 3}{1 + 3 \cdot - 1}$

Schritt 13.6

Um $- 3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{27}{27}$ .

$S_{4} = \frac{\frac{1}{27} - 3 \cdot \frac{27}{27}}{1 + 3 \cdot - 1}$

Schritt 13.7

Kombiniere $- 3$ und $\frac{27}{27}$ .

$S_{4} = \frac{\frac{1}{27} + \frac{- 3 \cdot 27}{27}}{1 + 3 \cdot - 1}$

Schritt 13.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$S_{4} = \frac{\frac{1 - 3 \cdot 27}{27}}{1 + 3 \cdot - 1}$

Schritt 13.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.9.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $27$ .

$S_{4} = \frac{\frac{1 - 81}{27}}{1 + 3 \cdot - 1}$

Schritt 13.9.2

Subtrahiere $81$ von $1$ .

$S_{4} = \frac{\frac{- 80}{27}}{1 + 3 \cdot - 1}$

Schritt 13.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$S_{4} = \frac{- \frac{80}{27}}{1 + 3 \cdot - 1}$

Schritt 14

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 14.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$S_{4} = \frac{- \frac{80}{27}}{1 - 3}$

Schritt 14.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$S_{4} = \frac{- \frac{80}{27}}{- 2}$

Schritt 15

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$S_{4} = - \frac{80}{27} \cdot \frac{1}{- 2}$

Schritt 16

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 16.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{80}{27}$ in den Zähler.

$S_{4} = \frac{- 80}{27} \cdot \frac{1}{- 2}$

Schritt 16.2

Faktorisiere $2$ aus $- 80$ heraus.

$S_{4} = \frac{2 (- 40)}{27} \cdot \frac{1}{- 2}$

Schritt 16.3

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$S_{4} = \frac{2 \cdot - 40}{27} \cdot \frac{1}{2 \cdot - 1}$

Schritt 16.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$S_{4} = \frac{2 \cdot - 40}{27} \cdot \frac{1}{2 \cdot - 1}$

Schritt 16.5

Forme den Ausdruck um.

$S_{4} = \frac{- 40}{27} \cdot \frac{1}{- 1}$

Schritt 17

Mutltipliziere $\frac{- 40}{27}$ mit $\frac{1}{- 1}$ .

$S_{4} = \frac{- 40}{27 \cdot - 1}$

Schritt 18

Mutltipliziere $27$ mit $- 1$ .

$S_{4} = \frac{- 40}{- 27}$

Schritt 19

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$S_{4} = \frac{40}{27}$