Algebra Beispiele

$\frac{2 x}{x - 5}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{2 y}{y - 5}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Multipliziere die Gleichung mit $y - 5$ .

$(y - 5) (x) = (\frac{2 y}{y - 5}) (y - 5)$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y x - 5 x = (\frac{2 y}{y - 5}) (y - 5)$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y - 5$ .

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Schritt 2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y x - 5 x = \frac{2 y}{y - 5} (y - 5)$

Schritt 2.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y x - 5 x = 2 y$

Schritt 2.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.4.1

Subtrahiere $2 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y x - 5 x - 2 y = 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $5 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y x - 2 y = 5 x$

Schritt 2.4.3

Faktorisiere $y$ aus $y x - 2 y$ heraus.

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Schritt 2.4.3.1

Faktorisiere $y$ aus $y x$ heraus.

$y (x) - 2 y = 5 x$

Schritt 2.4.3.2

Faktorisiere $y$ aus $- 2 y$ heraus.

$y (x) + y \cdot - 2 = 5 x$

Schritt 2.4.3.3

Faktorisiere $y$ aus $y (x) + y \cdot - 2$ heraus.

$y (x - 2) = 5 x$

Schritt 2.4.4

Teile jeden Ausdruck in $y (x - 2) = 5 x$ durch $x - 2$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y (x - 2) = 5 x$ durch $x - 2$ .

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{5 x}{x - 2}$

Schritt 2.4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 2$ .

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Schritt 2.4.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{5 x}{x - 2}$

Schritt 2.4.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{5 x}{x - 2}$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{x - 2}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{x - 2}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{2 x}{x - 5}$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 5})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 5}) = \frac{5 (\frac{2 x}{x - 5})}{(\frac{2 x}{x - 5}) - 2}$

Schritt 4.2.3

Kombiniere $5$ und $\frac{2 x}{x - 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 5}) = \frac{\frac{5 (2 x)}{x - 5}}{\frac{2 x}{x - 5} - 2}$

Schritt 4.2.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.4.1

Um $- 2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 5}{x - 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 5}) = \frac{\frac{5 (2 x)}{x - 5}}{\frac{2 x}{x - 5} - 2 \cdot \frac{x - 5}{x - 5}}$

Schritt 4.2.4.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{x - 5}{x - 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 5}) = \frac{\frac{5 (2 x)}{x - 5}}{\frac{2 x}{x - 5} + \frac{- 2 (x - 5)}{x - 5}}$

Schritt 4.2.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 5}) = \frac{\frac{5 (2 x)}{x - 5}}{\frac{2 x - 2 (x - 5)}{x - 5}}$

Schritt 4.2.4.4

Schreibe $\frac{2 x - 2 (x - 5)}{x - 5}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.2.4.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x - 2 (x - 5)$ heraus.

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Schritt 4.2.4.4.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 5}) = \frac{\frac{5 (2 x)}{x - 5}}{\frac{2 (x) - 2 (x - 5)}{x - 5}}$

Schritt 4.2.4.4.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 (x - 5)$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 5}) = \frac{\frac{5 (2 x)}{x - 5}}{\frac{2 (x) + 2 (- (x - 5))}{x - 5}}$

Schritt 4.2.4.4.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (x) + 2 (- (x - 5))$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 5}) = \frac{\frac{5 (2 x)}{x - 5}}{\frac{2 (x - (x - 5))}{x - 5}}$

Schritt 4.2.4.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 5}) = \frac{\frac{5 (2 x)}{x - 5}}{\frac{2 (x - x + 5)}{x - 5}}$

Schritt 4.2.4.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 5}) = \frac{\frac{5 (2 x)}{x - 5}}{\frac{2 (x - x + 5)}{x - 5}}$

Schritt 4.2.4.4.4

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 5}) = \frac{\frac{5 (2 x)}{x - 5}}{\frac{2 (0 + 5)}{x - 5}}$

Schritt 4.2.4.4.5

Addiere $0$ und $5$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 5}) = \frac{\frac{5 (2 x)}{x - 5}}{\frac{2 \cdot 5}{x - 5}}$

Schritt 4.2.4.5

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 5}) = \frac{\frac{5 (2 x)}{x - 5}}{\frac{10}{x - 5}}$

Schritt 4.2.5

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 5}) = \frac{\frac{10 x}{x - 5}}{\frac{10}{x - 5}}$

Schritt 4.2.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 5}) = \frac{10 x}{x - 5} \cdot \frac{x - 5}{10}$

Schritt 4.2.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10$ .

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Schritt 4.2.7.1

Faktorisiere $10$ aus $10 x$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 5}) = \frac{10 (x)}{x - 5} \cdot \frac{x - 5}{10}$

Schritt 4.2.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 5}) = \frac{10 x}{x - 5} \cdot \frac{x - 5}{10}$

Schritt 4.2.7.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 5}) = \frac{x}{x - 5} \cdot (x - 5)$

Schritt 4.2.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 5$ .

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Schritt 4.2.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 5}) = \frac{x}{x - 5} \cdot (x - 5)$

Schritt 4.2.8.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 5}) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\frac{5 x}{x - 2})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{5 x}{x - 2}) = \frac{2 (\frac{5 x}{x - 2})}{(\frac{5 x}{x - 2}) - 5}$

Schritt 4.3.3

Kombiniere $2$ und $\frac{5 x}{x - 2}$ .

$f (\frac{5 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (5 x)}{x - 2}}{\frac{5 x}{x - 2} - 5}$

Schritt 4.3.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.4.1

Um $- 5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f (\frac{5 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (5 x)}{x - 2}}{\frac{5 x}{x - 2} - 5 \cdot \frac{x - 2}{x - 2}}$

Schritt 4.3.4.2

Kombiniere $- 5$ und $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f (\frac{5 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (5 x)}{x - 2}}{\frac{5 x}{x - 2} + \frac{- 5 (x - 2)}{x - 2}}$

Schritt 4.3.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{5 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (5 x)}{x - 2}}{\frac{5 x - 5 (x - 2)}{x - 2}}$

Schritt 4.3.4.4

Schreibe $\frac{5 x - 5 (x - 2)}{x - 2}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.3.4.4.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x - 5 (x - 2)$ heraus.

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Schritt 4.3.4.4.1.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x$ heraus.

$f (\frac{5 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (5 x)}{x - 2}}{\frac{5 (x) - 5 (x - 2)}{x - 2}}$

Schritt 4.3.4.4.1.2

Faktorisiere $5$ aus $- 5 (x - 2)$ heraus.

$f (\frac{5 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (5 x)}{x - 2}}{\frac{5 (x) + 5 (- (x - 2))}{x - 2}}$

Schritt 4.3.4.4.1.3

Faktorisiere $5$ aus $5 (x) + 5 (- (x - 2))$ heraus.

$f (\frac{5 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (5 x)}{x - 2}}{\frac{5 (x - (x - 2))}{x - 2}}$

Schritt 4.3.4.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{5 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (5 x)}{x - 2}}{\frac{5 (x - x + 2)}{x - 2}}$

Schritt 4.3.4.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$f (\frac{5 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (5 x)}{x - 2}}{\frac{5 (x - x + 2)}{x - 2}}$

Schritt 4.3.4.4.4

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$f (\frac{5 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (5 x)}{x - 2}}{\frac{5 (0 + 2)}{x - 2}}$

Schritt 4.3.4.4.5

Addiere $0$ und $2$ .

$f (\frac{5 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (5 x)}{x - 2}}{\frac{5 \cdot 2}{x - 2}}$

Schritt 4.3.4.5

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$f (\frac{5 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (5 x)}{x - 2}}{\frac{10}{x - 2}}$

Schritt 4.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$f (\frac{5 x}{x - 2}) = \frac{\frac{10 x}{x - 2}}{\frac{10}{x - 2}}$

Schritt 4.3.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{5 x}{x - 2}) = \frac{10 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{10}$

Schritt 4.3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10$ .

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Schritt 4.3.7.1

Faktorisiere $10$ aus $10 x$ heraus.

$f (\frac{5 x}{x - 2}) = \frac{10 (x)}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{10}$

Schritt 4.3.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{5 x}{x - 2}) = \frac{10 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{10}$

Schritt 4.3.7.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{5 x}{x - 2}) = \frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$

Schritt 4.3.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 2$ .

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Schritt 4.3.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{5 x}{x - 2}) = \frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$

Schritt 4.3.8.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{5 x}{x - 2}) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{x - 2}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{2 x}{x - 5}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{x - 2}$