Algebra Beispiele

$\frac{1}{x \sqrt{x}}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{1}{x \sqrt{x}}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{1}{x \sqrt{x}}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{1}{x \sqrt{x}} d x$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1

Vereinfache.

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Schritt 4.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int \frac{1}{x \cdot x^{\frac{1}{2}}} d x$

Schritt 4.1.2

Multipliziere $x$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 4.1.2.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int \frac{1}{x^{1} x^{\frac{1}{2}}} d x$

Schritt 4.1.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int \frac{1}{x^{1 + \frac{1}{2}}} d x$

Schritt 4.1.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\int \frac{1}{x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}} d x$

Schritt 4.1.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int \frac{1}{x^{\frac{2 + 1}{2}}} d x$

Schritt 4.1.2.4

Addiere $2$ und $1$ .

$\int \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} d x$

Schritt 4.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.2.1

Bringe $x^{\frac{3}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int {(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d x$

Schritt 4.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int x^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d x$

Schritt 4.2.2.2

Multipliziere $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Schritt 4.2.2.2.1

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $- 1$ .

$\int x^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d x$

Schritt 4.2.2.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\int x^{\frac{- 3}{2}} d x$

Schritt 4.2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int x^{- \frac{3}{2}} d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- \frac{3}{2}}$ nach $x$ gleich $- 2 x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Schreibe $- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C$ als $- 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + C$ um.

$- 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

Schritt 6.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

Schritt 7

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{1}{x \sqrt{x}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$