Algebra Beispiele

$y = e^{2 x + 5}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = e^{2 y + 5}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $e^{2 y + 5} = x$ um.

$e^{2 y + 5} = x$

Schritt 2.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{2 y + 5}) = \ln (x)$

Schritt 2.3

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 2.3.1

Zerlege $\ln (e^{2 y + 5})$ durch Herausziehen von $2 y + 5$ aus dem Logarithmus.

$(2 y + 5) \ln (e) = \ln (x)$

Schritt 2.3.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$(2 y + 5) \cdot 1 = \ln (x)$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $2 y + 5$ mit $1$ .

$2 y + 5 = \ln (x)$

Schritt 2.4

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y = \ln (x) - 5$

Schritt 2.5

Teile jeden Ausdruck in $2 y = \ln (x) - 5$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y = \ln (x) - 5$ durch $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{- 5}{2}$

Schritt 2.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{- 5}{2}$

Schritt 2.5.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{- 5}{2}$

Schritt 2.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = e^{2 x + 5}$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (e^{2 x + 5})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (e^{2 x + 5}) = \frac{\ln (e^{2 x + 5})}{2} - \frac{5}{2}$

Schritt 4.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (e^{2 x + 5}) = \frac{\ln (e^{2 x + 5}) - 5}{2}$

Schritt 4.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.4.1

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $2 x + 5$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$f^{- 1} (e^{2 x + 5}) = \frac{(2 x + 5) \ln (e) - 5}{2}$

Schritt 4.2.4.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$f^{- 1} (e^{2 x + 5}) = \frac{(2 x + 5) \cdot 1 - 5}{2}$

Schritt 4.2.4.3

Mutltipliziere $2 x + 5$ mit $1$ .

$f^{- 1} (e^{2 x + 5}) = \frac{2 x + 5 - 5}{2}$

Schritt 4.2.5

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.2.5.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x + 5 - 5$ .

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Schritt 4.2.5.1.1

Subtrahiere $5$ von $5$ .

$f^{- 1} (e^{2 x + 5}) = \frac{2 x + 0}{2}$

Schritt 4.2.5.1.2

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (e^{2 x + 5}) = \frac{2 x}{2}$

Schritt 4.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (e^{2 x + 5}) = \frac{2 x}{2}$

Schritt 4.2.5.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (e^{2 x + 5}) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}) = e^{2 (\frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}) + 5}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.3.1.1

Schreibe $\frac{\ln (x)}{2}$ als $\frac{1}{2} \ln (x)$ um.

$f (\frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}) = e^{2 (\frac{1}{2} \cdot \ln (x) - \frac{5}{2}) + 5}$

Schritt 4.3.3.1.2

Vereinfache $\frac{1}{2} \ln (x)$ , indem du $\frac{1}{2}$ in den Logarithmus ziehst.

$f (\frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}) = e^{2 (\ln (x^{\frac{1}{2}}) - \frac{5}{2}) + 5}$

Schritt 4.3.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}) = e^{2 \ln (x^{\frac{1}{2}}) + 2 (- \frac{5}{2}) + 5}$

Schritt 4.3.3.3

Vereinfache $2 \ln (x^{\frac{1}{2}})$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$f (\frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 2 (- \frac{5}{2}) + 5}$

Schritt 4.3.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.3.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{5}{2}$ in den Zähler.

$f (\frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 2 (\frac{- 5}{2}) + 5}$

Schritt 4.3.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 2 (\frac{- 5}{2}) + 5}$

Schritt 4.3.3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) - 5 + 5}$

Schritt 4.3.3.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.3.5.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.3.3.5.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}) = e^{\ln (x^{\frac{1}{2} \cdot 2}) - 5 + 5}$

Schritt 4.3.3.5.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.3.5.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}) = e^{\ln (x^{\frac{1}{2} \cdot 2}) - 5 + 5}$

Schritt 4.3.3.5.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}) = e^{\ln (x^{1}) - 5 + 5}$

Schritt 4.3.3.5.2

Vereinfache.

$f (\frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}) = e^{\ln (x) - 5 + 5}$

Schritt 4.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\ln (x) - 5 + 5$ .

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Schritt 4.3.4.1

Addiere $- 5$ und $5$ .

$f (\frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}) = e^{\ln (x) + 0}$

Schritt 4.3.4.2

Addiere $\ln (x)$ und $0$ .

$f (\frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}) = e^{\ln (x)}$

Schritt 4.3.5

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f (\frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = e^{2 x + 5}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}$