Algebra Beispiele

$(3, \frac{1}{64})$

Schritt 1

Um eine Exponentialfunktion, $f (x) = a^{x}$ , zu ermitteln, die den Punkt enthält, setze $f (x)$ in der Funktion gleich dem $y$ -Wert $\frac{1}{64}$ des Punktes und setze $x$ gleich dem $x$ -Wert $3$ des Punktes.

$\frac{1}{64} = a^{3}$

Schritt 2

Löse die Gleichung nach $a$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $a^{3} = \frac{1}{64}$ um.

$a^{3} = \frac{1}{64}$

Schritt 2.2

Subtrahiere $\frac{1}{64}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$a^{3} - \frac{1}{64} = 0$

Schritt 2.3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.1

Schreibe $\frac{1}{64}$ als ${(\frac{1}{4})}^{3}$ um.

$a^{3} - {(\frac{1}{4})}^{3} = 0$

Schritt 2.3.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = a$ und $b = \frac{1}{4}$ .

$(a - \frac{1}{4}) (a^{2} + a (\frac{1}{4}) + {(\frac{1}{4})}^{2}) = 0$

Schritt 2.3.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.1

Kombiniere $a$ und $\frac{1}{4}$ .

$(a - \frac{1}{4}) (a^{2} + \frac{a}{4} + {(\frac{1}{4})}^{2}) = 0$

Schritt 2.3.3.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{4}$ an.

$(a - \frac{1}{4}) (a^{2} + \frac{a}{4} + \frac{1^{2}}{4^{2}}) = 0$

Schritt 2.3.3.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$(a - \frac{1}{4}) (a^{2} + \frac{a}{4} + \frac{1}{4^{2}}) = 0$

Schritt 2.3.3.4

Potenziere $4$ mit $2$ .

$(a - \frac{1}{4}) (a^{2} + \frac{a}{4} + \frac{1}{16}) = 0$

Schritt 2.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$a - \frac{1}{4} = 0$

$a^{2} + \frac{a}{4} + \frac{1}{16} = 0$

Schritt 2.5

Setze $a - \frac{1}{4}$ gleich $0$ und löse nach $a$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $a - \frac{1}{4}$ gleich $0$ .

$a - \frac{1}{4} = 0$

Schritt 2.5.2

Addiere $\frac{1}{4}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$a = \frac{1}{4}$

Schritt 2.6

Setze $a^{2} + \frac{a}{4} + \frac{1}{16}$ gleich $0$ und löse nach $a$ auf.

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Schritt 2.6.1

Setze $a^{2} + \frac{a}{4} + \frac{1}{16}$ gleich $0$ .

$a^{2} + \frac{a}{4} + \frac{1}{16} = 0$

Schritt 2.6.2

Löse $a^{2} + \frac{a}{4} + \frac{1}{16} = 0$ nach $a$ auf.

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Schritt 2.6.2.1

Multipliziere mit dem Hauptnenner $16$ aus und vereinfache dann.

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Schritt 2.6.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$16 a^{2} + 16 (\frac{a}{4}) + 16 (\frac{1}{16}) = 0$

Schritt 2.6.2.1.2

Vereinfache.

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Schritt 2.6.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.6.2.1.2.1.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$16 a^{2} + 4 (4) (\frac{a}{4}) + 16 (\frac{1}{16}) = 0$

Schritt 2.6.2.1.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$16 a^{2} + 4 \cdot (4 (\frac{a}{4})) + 16 (\frac{1}{16}) = 0$

Schritt 2.6.2.1.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$16 a^{2} + 4 a + 16 (\frac{1}{16}) = 0$

Schritt 2.6.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $16$ .

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Schritt 2.6.2.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$16 a^{2} + 4 a + 16 (\frac{1}{16}) = 0$

Schritt 2.6.2.1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$16 a^{2} + 4 a + 1 = 0$

Schritt 2.6.2.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.6.2.3

Setze die Werte $a = 16$ , $b = 4$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $a$ auf.

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (16 \cdot 1)}}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.6.2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.6.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.2.4.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.6.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 16 \cdot 1$ .

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Schritt 2.6.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $16$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.6.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 64$ mit $1$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.6.2.4.1.3

Subtrahiere $64$ von $16$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.6.2.4.1.4

Schreibe $- 48$ als $- 1 (48)$ um.

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.6.2.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (48)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ um.

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.6.2.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.6.2.4.1.7

Schreibe $48$ als $4^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 2.6.2.4.1.7.1

Faktorisiere $16$ aus $48$ heraus.

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.6.2.4.1.7.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.6.2.4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.6.2.4.1.9

Bringe $4$ auf die linke Seite von $i$ .

$a = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.6.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $16$ .

$a = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$

Schritt 2.6.2.4.3

Vereinfache $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$ .

$a = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{8}$

Schritt 2.6.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.6.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.2.5.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.6.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 16 \cdot 1$ .

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Schritt 2.6.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $16$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.6.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 64$ mit $1$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.6.2.5.1.3

Subtrahiere $64$ von $16$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.6.2.5.1.4

Schreibe $- 48$ als $- 1 (48)$ um.

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.6.2.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (48)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ um.

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.6.2.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.6.2.5.1.7

Schreibe $48$ als $4^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 2.6.2.5.1.7.1

Faktorisiere $16$ aus $48$ heraus.

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.6.2.5.1.7.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.6.2.5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.6.2.5.1.9

Bringe $4$ auf die linke Seite von $i$ .

$a = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.6.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $16$ .

$a = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$

Schritt 2.6.2.5.3

Vereinfache $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$ .

$a = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{8}$

Schritt 2.6.2.5.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$a = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{8}$

Schritt 2.6.2.5.5

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$a = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{8}$

Schritt 2.6.2.5.6

Faktorisiere $- 1$ aus $i \sqrt{3}$ heraus.

$a = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{8}$

Schritt 2.6.2.5.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ heraus.

$a = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{8}$

Schritt 2.6.2.5.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$a = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}$

Schritt 2.6.2.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.6.2.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.2.6.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.6.2.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 16 \cdot 1$ .

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Schritt 2.6.2.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $16$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.6.2.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 64$ mit $1$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.6.2.6.1.3

Subtrahiere $64$ von $16$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.6.2.6.1.4

Schreibe $- 48$ als $- 1 (48)$ um.

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.6.2.6.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (48)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ um.

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.6.2.6.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.6.2.6.1.7

Schreibe $48$ als $4^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 2.6.2.6.1.7.1

Faktorisiere $16$ aus $48$ heraus.

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.6.2.6.1.7.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.6.2.6.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.6.2.6.1.9

Bringe $4$ auf die linke Seite von $i$ .

$a = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.6.2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $16$ .

$a = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$

Schritt 2.6.2.6.3

Vereinfache $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$ .

$a = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{8}$

Schritt 2.6.2.6.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$a = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{8}$

Schritt 2.6.2.6.5

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$a = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{8}$

Schritt 2.6.2.6.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- i \sqrt{3}$ heraus.

$a = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{8}$

Schritt 2.6.2.6.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ heraus.

$a = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{8}$

Schritt 2.6.2.6.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$a = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$

Schritt 2.6.2.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$a = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$

Schritt 2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(a - \frac{1}{4}) (a^{2} + \frac{a}{4} + \frac{1}{16}) = 0$ wahr machen.

$a = \frac{1}{4}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$

Schritt 2.8

Entferne alle Werte, die imaginäre Komponenten enthalten.

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Schritt 2.8.1

Es gibt keine imaginären Komponenten. Addiere $\frac{1}{4}$ zum endgültigen Ergebnis.

$\frac{1}{4}$ ist eine reelle Zahl

Schritt 2.8.2

Der Buchstabe $i$ stellt eine imaginäre Komponente dar und ist keine reelle Zahl. Addiere $- \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}$ nicht zur endgültigen Lösung.

$- \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}$ ist keine reelle Zahl

Schritt 2.8.3

Der Buchstabe $i$ stellt eine imaginäre Komponente dar und ist keine reelle Zahl. Addiere $- \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$ nicht zur endgültigen Lösung.

$- \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$ ist keine reelle Zahl

Schritt 2.8.4

Die endgültige Lösung ist die Liste der Werte, die keine imaginären Komponenten enthalten.

$a = \frac{1}{4}$

Schritt 3

Setze jeden Wert für $a$ erneut in die Funktion $f (x) = a^{x}$ ein, um jede mögliche Exponentialfunktion zu ermitteln.

$f (x) = {(\frac{1}{4})}^{x}$