Algebra Beispiele

$- \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} i$

Schritt 1

Kombiniere $i$ und $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}$

Schritt 2

Das ist die trigonometrische Form einer komplexen Zahl, wobei $| z |$ der Betrag und $θ$ der Winkel, der in der komplexen Ebene entsteht, ist.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Schritt 3

Der Betrag einer komplexen Zahl ist der Abstand vom Ursprung in der komplexen Zahlenebene.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , wobei $z = a + b i$

Schritt 4

Ersetze die tatsächlichen Werte von $a = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ und $b = - \frac{1}{2}$ .

$| z | = \sqrt{{(- \frac{1}{2})}^{2} + {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

Schritt 5

Ermittle $| z |$ .

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Schritt 5.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 5.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{2}$ an.

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

Schritt 5.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}}) + {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

Schritt 5.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{1 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) + {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1^{2}}{2^{2}} + {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

Schritt 5.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{2^{2}} + {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

Schritt 5.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

Schritt 5.6

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 5.6.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ an.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + {(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

Schritt 5.6.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{3}}{2}$ an.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + {(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}})}$

Schritt 5.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.7.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + 1 (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}})}$

Schritt 5.7.2

Mutltipliziere $\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}}$

Schritt 5.8

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 5.8.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Schritt 5.8.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Schritt 5.8.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Schritt 5.8.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.8.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Schritt 5.8.4.2

Forme den Ausdruck um.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{2^{2}}}$

Schritt 5.8.5

Berechne den Exponenten.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{2^{2}}}$

Schritt 5.9

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.9.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}}$

Schritt 5.9.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$| z | = \sqrt{\frac{1 + 3}{4}}$

Schritt 5.9.3

Addiere $1$ und $3$ .

$| z | = \sqrt{\frac{4}{4}}$

Schritt 5.9.4

Dividiere $4$ durch $4$ .

$| z | = \sqrt{1}$

Schritt 5.9.5

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$| z | = 1$

Schritt 6

Der Winkel des Punkts in der komplexen Zahlenebene ist der inverse Tangens des Imaginärteils geteilt durch den Realteil.

$θ = \arctan (\frac{- \frac{1}{2}}{- \frac{\sqrt{3}}{2}})$

Schritt 7

Da der inverse Tangens von $\frac{- \frac{1}{2}}{- \frac{\sqrt{3}}{2}}$ einen Winkel im dritten Quadranten ergibt, ist der Wert des Winkels $\frac{7 π}{6}$ .

$θ = \frac{7 π}{6}$

Schritt 8

Substituiere die Werte von $θ = \frac{7 π}{6}$ und $| z | = 1$ .

$\cos (\frac{7 π}{6}) + i \sin (\frac{7 π}{6})$